Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phương trình.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \) a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\) b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y = - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\) c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)
Đề bài
Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \)
a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\)
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y = - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\)
c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = (a;b;c)\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\), khi đó góc \((d,\alpha )\) được tính theo công thức:
\(\sin \left( {(d,\alpha )} \right) = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}}\)
hoặc
\(\sin \left( {(d,\alpha )} \right) = \frac{{|aA + bB + cC|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = (1;2;2)\)
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \): \(\vec n = (2;2;0)\)
\(\vec u \cdot \vec n = 1 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 0 = 6\)
\(|\vec u| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3,\quad |\vec n| = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)
\(\sin \theta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u||\vec n|}} = \frac{6}{{3 \times 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {45^\circ }\)
b)
- Vector chỉ phương của d: \(\vec u = (7; - 8; - 15)\)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\vec n = (2;2;0)\)
\(\vec u \cdot \vec n = 7 \times 2 + ( - 8) \times 2 + ( - 15) \times 0 = - 2\)
\(|\vec u| = \sqrt {{7^2} + {{( - 8)}^2} + {{( - 15)}^2}} = \sqrt {338} ,\quad |\vec n| = 2\sqrt 2 \)
\(\sin \theta = \frac{2}{{\sqrt {338} \times 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{26}}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{26}}} \right)\)
c)
- Vector chỉ phương của d: \(\vec u = (3; - 1;2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\vec n = (6; - 2;4)\)
\(\vec u \cdot \vec n = 3 \times 6 + ( - 1) \times ( - 2) + 2 \times 4 = 28\)
\(|\vec u| = \sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt {14} ,\quad |\vec n| = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {4^2}} = \sqrt {56} \)
\(\sin \theta = \frac{{28}}{{\sqrt {14} \times \sqrt {56} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1\quad \Rightarrow \quad \theta = {90^\circ }\)
Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 - Phương pháp tiếp cận chi tiết
Bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu giải một phương trình hoặc bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối và các phương pháp giải phương trình, bất phương trình tương ứng.
I. Kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là |a|, được định nghĩa như sau:
- |a| = a nếu a ≥ 0
- |a| = -a nếu a < 0
Một số tính chất quan trọng của giá trị tuyệt đối:
- |a| ≥ 0 với mọi a
- |a| = | -a|
- |a * b| = |a| * |b|
- |a / b| = |a| / |b| (với b ≠ 0)
II. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Có hai phương pháp chính để giải phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối:
- Phương pháp 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
- Nếu |f(x)| = g(x) (với g(x) ≥ 0) thì f(x) = g(x) hoặc f(x) = -g(x).
- Nếu |f(x)| < g(x) thì -g(x) < f(x) < g(x).
- Nếu |f(x)| > g(x) thì f(x) > g(x) hoặc f(x) < -g(x).
- Phương pháp 2: Sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
- Xét các trường hợp khác nhau dựa trên dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
III. Giải bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 (Ví dụ minh họa)
Giả sử bài tập 5.26 có nội dung như sau: Giải phương trình |2x - 1| = 3.
Lời giải:
Áp dụng phương pháp 1, ta có:
Trường hợp 1: 2x - 1 = 3
=> 2x = 4
=> x = 2
Trường hợp 2: 2x - 1 = -3
=> 2x = -2
=> x = -1
Vậy phương trình |2x - 1| = 3 có hai nghiệm là x = 2 và x = -1.
IV. Luyện tập và mở rộng
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối, các em có thể thực hành thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng nên tìm hiểu thêm về các ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong các lĩnh vực khác của toán học và khoa học.
Ví dụ các bài tập tương tự:
- Giải phương trình |x + 2| = 5
- Giải bất phương trình |3x - 2| ≤ 1
- Giải phương trình |x2 - 1| = 2
Hy vọng với bài giải chi tiết và các kiến thức bổ trợ trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập về giá trị tuyệt đối. Chúc các em học tập tốt!
