Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian

Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian - SGK Toán 12

Trong không gian Oxyz, vecto là một khái niệm quan trọng trong hình học và vật lý. Để hiểu rõ hơn về vecto, chúng ta cần nắm vững các phép toán cơ bản trên vecto. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về các phép toán vecto trong không gian, bao gồm phép cộng, phép trừ, phép nhân với một số thực và các tính chất của chúng.

1. Phép cộng vecto

Cho hai vecto \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) và \vec{b} = (b_1; b_2; b_3). Phép cộng hai vecto \vec{a} và \vec{b} được định nghĩa như sau:

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3)

Tính chất của phép cộng vecto:

• Giao hoán: \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}
• Kết hợp: (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})
• Vectơ không: \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}
• Vectơ đối: \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}

2. Phép trừ vecto

Cho hai vecto \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) và \vec{b} = (b_1; b_2; b_3). Phép trừ hai vecto \vec{a} và \vec{b} được định nghĩa như sau:

\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3)

Phép trừ vecto có thể được xem là phép cộng của vecto \vec{a} với vecto đối của \vec{b}, tức là \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

3. Phép nhân vecto với một số thực

Cho vecto \vec{a} = (a_1; a_2; a_3) và một số thực k. Phép nhân vecto \vec{a} với số thực k được định nghĩa như sau:

k\vec{a} = (ka_1; ka_2; ka_3)

Tính chất của phép nhân vecto với một số thực:

• k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}
• (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}
• (kl)\vec{a} = k(l\vec{a})
• 1\vec{a} = \vec{a}
• 0\vec{a} = \vec{0}

4. Ví dụ minh họa

Cho \vec{a} = (1; 2; 3) và \vec{b} = (-2; 1; 0). Hãy tính:

• \vec{a} + \vec{b}
• \vec{a} - \vec{b}
• 2\vec{a}

Giải:

• \vec{a} + \vec{b} = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
• \vec{a} - \vec{b} = (1 - (-2); 2 - 1; 3 - 0) = (3; 1; 3)
• 2\vec{a} = (2*1; 2*2; 2*3) = (2; 4; 6)

5. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về các phép toán vecto trong không gian:

1. Cho \vec{a} = (2; -1; 3) và \vec{b} = (1; 0; -2). Tính \vec{a} + \vec{b} và \vec{a} - \vec{b}.
2. Cho \vec{a} = (-3; 2; 1). Tính 3\vec{a} và -2\vec{a}.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về các phép toán vecto trong không gian. Chúc các em học tập tốt!