Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm, một trong những chủ đề quan trọng của Toán 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7. a) Chứng minh rằng (overrightarrow {NM} = frac{1}{2}left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {DC} } right)). b) Từ kết quả câu a, hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {DC} ). c) Tính (left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {DC} } right)).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Cho biết AB = 10, CD = 6, MN = 7.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
b) Từ kết quả câu a, hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} \).
c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\), ta cần sử dụng tính chất trung điểm và phép cộng vectơ.
b) Sử dụng kết quả từ phần a) để tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \). Áp dụng tính chất “Bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó”.
c) Sử dụng tích vô hướng để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \).
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\)
Lời giải chi tiết
a) Chứng minh \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\):
- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là: \(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \).
Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)
Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
Suy ra: \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).
b) Từ kết quả câu a, tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \):
- Từ câu a, ta có:
\(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} ) \cdot (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).
Biểu thức này mở rộng thành:
\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {DC} )\).
Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 49\), \(AB = 10\), \(DC = 6\), ta suy ra:
\(49 = \frac{1}{4}(100 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} + 36)\).
\(49 = \frac{1}{4}(136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} )\).
\(196 = 136 + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = 30\).
c) Tính \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right)\):
- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {DC} |}}\).
\(\cos \theta = \frac{{30}}{{10 \cdot 6}} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(\theta = {60^\circ }\).
Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1: Phương pháp tiếp cận chi tiết
Bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, bao gồm:
- Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
- Đạo hàm của các hàm số lượng giác (sin, cos, tan, cot).
- Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.
- Quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Phân tích bài toán và xác định phương pháp giải
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định hàm số cần tìm đạo hàm và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Trong trường hợp bài tập phức tạp, chúng ta có thể chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ hơn để dễ dàng giải quyết.
Lời giải chi tiết bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1
Để minh họa, giả sử bài tập 2.9 có nội dung như sau: “Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2sin(x) - 5ex”
Lời giải:
Áp dụng các quy tắc đạo hàm đã nêu ở trên, ta có:
f'(x) = (x3)' + (2sin(x))' - (5ex)'
f'(x) = 3x2 + 2cos(x) - 5ex
Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài bài tập 2.9, SGK Toán 12 tập 1 còn nhiều bài tập khác liên quan đến đạo hàm. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
- Bài tập tìm đạo hàm của hàm số đơn giản: Áp dụng trực tiếp các quy tắc đạo hàm cơ bản.
- Bài tập tìm đạo hàm của hàm số hợp: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.
- Bài tập tìm đạo hàm cấp hai: Tìm đạo hàm của đạo hàm cấp một.
- Bài tập ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về cực trị, đơn điệu của hàm số: Sử dụng đạo hàm để xác định các điểm cực trị và khoảng đơn điệu của hàm số.
Mẹo học tập hiệu quả môn Toán 12
Để học tốt môn Toán 12, các em cần:
- Nắm vững kiến thức cơ bản về đạo hàm, tích phân, số phức, hình học không gian.
- Luyện tập thường xuyên các bài tập từ dễ đến khó.
- Tìm hiểu các phương pháp giải bài tập khác nhau.
- Sử dụng các tài liệu tham khảo, sách bài tập, website học toán online.
- Hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.
Kết luận
Bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập cơ bản về đạo hàm. Việc nắm vững các quy tắc đạo hàm và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn khi giải các bài tập phức tạp hơn. Hy vọng với lời giải chi tiết và các gợi ý trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
Bảng tổng hợp các quy tắc đạo hàm cơ bản
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| c (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| ex | ex |
