THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của montoan.com.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 2, 3, 4 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em học sinh có thể tự tin giải các bài tập, củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s). a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả. b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).
a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.
b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.
Phương pháp giải:
a)
- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:
\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)
- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).
b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.
Lời giải chi tiết:
a)
Vận tốc của hòn đá được cho bởi:
\(v(t) = 10t{\mkern 1mu} ({\rm{m/s)}}\)
Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int 1 0t{\mkern 1mu} dt\)
Thực hiện nguyên hàm:
\(s(t) = 10\int t {\mkern 1mu} dt = 10\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right) + C = 5{t^2} + C\)
Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:
\(s(0) = 5{(0)^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy phương trình quãng đường là:
\(s(t) = 5{t^2}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
b)
Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:
\(s(2,2) = 5{(2,2)^2} = 5 \times 4,84 = 24,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Giải thích vì sao \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(G(x) = \sqrt x \) có là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không? Giải thích.
Phương pháp giải:
a) Để kiểm tra \(F(x)\) có phải là nguyên hàm của \(f(x)\) không, ta cần tính đạo hàm của \(F(x)\) và so sánh với \(f(x)\).
b) Để kiểm tra \(G(x)\) có phải là nguyên hàm của \(g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không, ta cần tính đạo hàm của \(G(x)\) và so sánh với \(g(x)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có hàm \(F(x) = x + \cos x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(x + \cos x) = 1 - \sin x\)
Nhận thấy \(F'(x) = f(x)\), do đó \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có hàm \(G(x) = \sqrt x \). Tính đạo hàm của \(G(x)\):
\(G'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Nhận thấy \(G'(x) = g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\), do đó \(G(x) = \sqrt x \) là một nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?
b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a)
- Xét đạo hàm của các hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.
b)
- Xét đạo hàm của \(F(x) = \ln x\) để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)
- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Ta có các hàm số:
\({F_1}(x) = \sin x,\quad {F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 ,\quad {F_3}(x) = \sin x - 2\)
Tính đạo hàm của các hàm số này:
\(F_1'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x\)
Như vậy, cả ba hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\).
b)
Xét hàm số \(F(x) = \ln x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Do đó, \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x) = \frac{1}{x}\) bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm \(F(x)\). Cụ thể:
\({F_1}(x) = \ln x + {C_1},\quad {F_2}(x) = \ln x + {C_2}\)
Với \({C_1}\) và \({C_2}\) là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:
\({F_1}(x) = \ln x + 1,\quad {F_2}(x) = \ln x - 2\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.} \) Tính \(f(\pi )\).
Phương pháp giải:
- Khi biết một phương trình nguyên hàm như \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = g(x) + C\), để tìm hàm số \(f(x)\), cần lấy đạo hàm của \(g(x) + C\) đối với \(x\).
- Đạo hàm của \(g(x)\) chính là hàm số \(f(x)\), vì \(\frac{d}{{dx}}\left( {\int f (x){\mkern 1mu} dx} \right) = f(x)\).
- Sau khi xác định được hàm \(f(x)\), thay giá trị \(x\) cần tính vào hàm \(f(x)\) để tìm kết quả cụ thể.
Lời giải chi tiết:
Theo đề bài, ta có:
\(\int {f(x){\mkern 1mu} dx} = \sin x + \cos x + C\)
Đạo hàm hai vế của phương trình này với \(x\), ta được:
\(f(x) = \frac{d}{{dx}}(\sin x + \cos x + C)\)
Tính đạo hàm của từng hạng tử:
\(f(x) = \cos x - \sin x\)
(Vì \(C\) là hằng số, nên \(\frac{{dC}}{{dx}} = 0\)).
Thay \(x = \pi \) vào hàm \(f(x)\):
\(f(\pi ) = \cos (\pi ) - \sin (\pi )\)
Biết rằng:
\(\cos (\pi ) = - 1\quad {\rm{và }}\quad \sin (\pi ) = 0\)
Do đó:
\(f(\pi ) = - 1 - 0 = - 1\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).
a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.
b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.
Phương pháp giải:
a)
- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:
\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)
- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).
b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.
Lời giải chi tiết:
a)
Vận tốc của hòn đá được cho bởi:
\(v(t) = 10t{\mkern 1mu} ({\rm{m/s)}}\)
Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int 1 0t{\mkern 1mu} dt\)
Thực hiện nguyên hàm:
\(s(t) = 10\int t {\mkern 1mu} dt = 10\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right) + C = 5{t^2} + C\)
Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:
\(s(0) = 5{(0)^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0\)
Vậy phương trình quãng đường là:
\(s(t) = 5{t^2}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
b)
Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:
\(s(2,2) = 5{(2,2)^2} = 5 \times 4,84 = 24,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Giải thích vì sao \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(G(x) = \sqrt x \) có là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không? Giải thích.
Phương pháp giải:
a) Để kiểm tra \(F(x)\) có phải là nguyên hàm của \(f(x)\) không, ta cần tính đạo hàm của \(F(x)\) và so sánh với \(f(x)\).
b) Để kiểm tra \(G(x)\) có phải là nguyên hàm của \(g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không, ta cần tính đạo hàm của \(G(x)\) và so sánh với \(g(x)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có hàm \(F(x) = x + \cos x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(x + \cos x) = 1 - \sin x\)
Nhận thấy \(F'(x) = f(x)\), do đó \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có hàm \(G(x) = \sqrt x \). Tính đạo hàm của \(G(x)\):
\(G'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Nhận thấy \(G'(x) = g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\), do đó \(G(x) = \sqrt x \) là một nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá
a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?
b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Phương pháp giải:
a)
- Xét đạo hàm của các hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.
b)
- Xét đạo hàm của \(F(x) = \ln x\) để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)
- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Lời giải chi tiết:
a)
Ta có các hàm số:
\({F_1}(x) = \sin x,\quad {F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 ,\quad {F_3}(x) = \sin x - 2\)
Tính đạo hàm của các hàm số này:
\(F_1'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x\)
Như vậy, cả ba hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\).
b)
Xét hàm số \(F(x) = \ln x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):
\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)
Do đó, \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).
Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x) = \frac{1}{x}\) bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm \(F(x)\). Cụ thể:
\({F_1}(x) = \ln x + {C_1},\quad {F_2}(x) = \ln x + {C_2}\)
Với \({C_1}\) và \({C_2}\) là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:
\({F_1}(x) = \ln x + 1,\quad {F_2}(x) = \ln x - 2\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho \(\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.} \) Tính \(f(\pi )\).
Phương pháp giải:
- Khi biết một phương trình nguyên hàm như \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = g(x) + C\), để tìm hàm số \(f(x)\), cần lấy đạo hàm của \(g(x) + C\) đối với \(x\).
- Đạo hàm của \(g(x)\) chính là hàm số \(f(x)\), vì \(\frac{d}{{dx}}\left( {\int f (x){\mkern 1mu} dx} \right) = f(x)\).
- Sau khi xác định được hàm \(f(x)\), thay giá trị \(x\) cần tính vào hàm \(f(x)\) để tìm kết quả cụ thể.
Lời giải chi tiết:
Theo đề bài, ta có:
\(\int {f(x){\mkern 1mu} dx} = \sin x + \cos x + C\)
Đạo hàm hai vế của phương trình này với \(x\), ta được:
\(f(x) = \frac{d}{{dx}}(\sin x + \cos x + C)\)
Tính đạo hàm của từng hạng tử:
\(f(x) = \cos x - \sin x\)
(Vì \(C\) là hằng số, nên \(\frac{{dC}}{{dx}} = 0\)).
Thay \(x = \pi \) vào hàm \(f(x)\):
\(f(\pi ) = \cos (\pi ) - \sin (\pi )\)
Biết rằng:
\(\cos (\pi ) = - 1\quad {\rm{và }}\quad \sin (\pi ) = 0\)
Do đó:
\(f(\pi ) = - 1 - 0 = - 1\)
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn ở các chương tiếp theo. Do đó, việc giải bài tập một cách chính xác và hiểu rõ bản chất là vô cùng quan trọng.
Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bài tập trong mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 12 tập 2. Mỗi bài giải sẽ được trình bày rõ ràng, đầy đủ các bước, kèm theo giải thích chi tiết để các em có thể hiểu được cách giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
(Nội dung bài tập 1 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 2 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 3 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 4 và lời giải chi tiết)
(Nội dung bài tập 5 và lời giải chi tiết)
Ngoài SGK Toán 12 tập 2, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn hữu ích trên đây, các em học sinh sẽ tự tin giải các bài tập trong mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 12 tập 2 và đạt kết quả tốt trong môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
