THCS
THCS
Chuyên đề Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán về hàm số và ứng dụng thực tế.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp hệ thống lý thuyết đầy đủ, dễ hiểu cùng với các bài tập vận dụng đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Hãy cùng khám phá và chinh phục chuyên đề này ngay hôm nay!
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Định lý
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)). - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0. - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0. |
Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4.
Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b). |
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\). |
Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2.
Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó: - Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). - Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x). |
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.
BBT:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.
Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)
|
Chuyên đề về tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán 12, là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hàm số và ứng dụng thực tế. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập trong chuyên đề này sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi quan trọng.
Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).
1. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a, b).
2. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc (a, b).
Lưu ý: Nếu f'(x) > 0 trên (a, b) thì hàm số đồng biến nghiêm ngặt trên (a, b). Nếu f'(x) < 0 trên (a, b) thì hàm số nghịch biến nghiêm ngặt trên (a, b).
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) > f(x) với mọi x thuộc (a, b).
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x0) < f(x) với mọi x thuộc (a, b).
Giá trị f(x0) tương ứng với điểm cực đại (hoặc cực tiểu) được gọi là giá trị cực đại (hoặc giá trị cực tiểu) của hàm số.
1. Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) có cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0 và x0 là nghiệm của phương trình f'(x) = 0.
2. Điều kiện đủ:
Lưu ý: Nếu f''(x0) = 0 thì cần xét dấu đạo hàm cấp ba để xác định cực trị.
Lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong việc:
Để hiểu rõ hơn về lý thuyết, chúng ta cùng xét một số ví dụ:
Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập trong chuyên đề này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
