THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 1 của montoan.com.vn. Chúng tôi sẽ cùng nhau đi sâu vào việc giải chi tiết các bài tập trong mục 2, trang 89, 90, 91, 92, 93 của sách giáo khoa Toán 12 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ bản chất của từng bài toán, nắm vững phương pháp giải và tự tin áp dụng vào các bài tập tương tự.
Trở lại với bảng 3.1 về khối lượng của 100 quả dứa giống E. Để tiện tính toán, ta biểu diễn dữ liệu bằng một bảng hai cột như bảng trên. a) Hãy tính các tứ phân vị của mẫu số liệu cho trong bảng. b) Đề xuất một cách ước tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 92 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Ở một phòng điều trị nội trú của bệnh viện, dữ liệu thống kê thời gian ngủ hằng đêm của hai bệnh nhân trong suốt một tháng được tổng hợp bởi hai bảng dưới đây:
Bệnh nhân nào có thời gian ngủ ổn định hơn?
Phương pháp giải:
Tính tần suất tích lũy cho cả hai bệnh nhân.
Xác định \({Q_1}\), \({Q_2}\), và \({Q_3}\) cho mỗi bệnh nhân.
Tính khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) cho mỗi bệnh nhân.
So sánh khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) của hai bệnh nhân. Bệnh nhân có \({\Delta _Q}\) nhỏ hơn sẽ có thời gian ngủ ổn định hơn.
Lời giải chi tiết:
- Bệnh nhân A:
Tính tần suất tích luỹ:
Tính tứ phân vị:
\({Q_1} = 240 + \frac{{7.5 - 5}}{5} \times 60 = 240 + 30 = 270\) phút
\({Q_2} = 300 + \frac{{15 - 10}}{{10}} \times 60 = 300 + 30 = 330\) phút
\({Q_3} = 360 + \frac{{22.5 - 20}}{6} \times 60 = 360 + 25 = 385\) phút
Khoảng tứ phân vị là:
\(\Delta _Q^A = {Q_3} - {Q_1} = 385 - 270 = 115\) phút
- Bệnh nhân B:
Tính tần suất tích luỹ:
Tính tứ phân vị:
\({Q_1} = 240 + \frac{{7.5 - 2}}{9} \times 60 = 240 + 36,67 = 276,67\) phút
\({Q_2} = 300 + \frac{{15 - 11}}{{12}}.60 = 320\) phút
\({Q_3} = 300 + \frac{{22.5 - 11}}{{12}} \times 60 = 300 + 57,5 = 357,5\) phút
Khoảng tứ phân vị là:
\(\Delta _Q^B = {Q_3} - {Q_1} = 357.5 - 276.67 = 80.83\) phút
Vì \(\Delta _Q^B < \Delta _Q^A\) nên bệnh nhân B có thời gian ngủ ổn định hơn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 93 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Hình 3.3 là biểu đồ biểu diễn nhiệt độ trung bình hằng tháng của hai địa phương Y, Z.
a) Lập bảng số liệu ghép nhóm về nhiệm độ của hai địa phương Y, Z, với độ dài các nhóm là 5 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 40.
b) Tìm khoảng tứ phân vị của nhiệt độ mỗi địa phương và cho biết nhiệt độ của địa phương nào ít biến động hơn.
Phương pháp giải:
a)
- Tạo bảng với các hàng tương ứng với các khoảng nhiệt độ (5-10, 10-15, ..., 35-40) và hai cột tương ứng với địa phương Y và Z.
- Đếm số lượng tháng mà nhiệt độ trung bình rơi vào mỗi khoảng nhiệt độ cho từng địa phương.
b)
- Xác định khoảng tứ phân vị.
- Địa phương nào có khoảng tứ phân vị nhỏ hơn thì nhiệt độ của địa phương đó biến động ít hơn.
Lời giải chi tiết:
Đọc số liệu từ biểu đồ:
Lập bảng số liệu ghép nhóm:
b) Tính khoảng tứ phân vị và so sánh
\(Q_1^Y = 15 + \frac{{3 - 2}}{2}.5 = 17,5;Q_3^Y = 30 + \frac{{9 - 7}}{3}.5 = 33,3\)
\(Q_1^Z = 25 + \frac{{3 - 2}}{4}.5 = 26,25;Q_3^Z = 30 + \frac{{9 - 6}}{4}.5 = 33,75\)
\(\begin{array}{l}\Delta _Q^Y = Q_3^Y - Q_1^Y = 33,3 - 17,5 = 15,8\\\Delta _Q^Z = Q_3^Z - Q_1^Z = 33,75 - 26,25 = 7,5\end{array}\)
Vì \(\Delta _Q^Y > \Delta _Q^Z\) nên nhiệt độ của địa phương Z ít biến động hơn.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trở lại với bảng 3.1 về khối lượng của 100 quả dứa giống E. Để tiện tính toán, ta biểu diễn dữ liệu bằng một bảng hai cột như bảng trên.
a) Hãy tính các tứ phân vị của mẫu số liệu cho trong bảng.
b) Đề xuất một cách ước tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính tứ phân vị:
\({Q_x} = L + \left( {\frac{{{n_x} - F}}{f}} \right) \times h\)
Trong đó:
- \({Q_x}\) là giá trị tứ phân vị cần tìm \(\left( {{Q_1},{Q_2}} \right.\), hoặc \(\left. {{Q_3}} \right)\).
- \(L\) là cận dưới của khoảng chứa tứ phân vị.
- \({n_x}\) là vị trí của tứ phân vị trong tổng số mẫu (ví dụ, \({n_{{Q_1}}} = \frac{N}{4}\) cho \({\rm{Q}}1,{n_{{Q_2}}} = \frac{N}{2}\) cho Q2).
- \(F\) là tần suất tích lũy của khoảng liền trước khoảng chứa tứ phân vị.
- \(f\) là tần suất của khoảng chứa tứ phân vị.
- \(h\) là độ dài của khoảng giá trị (ví dụ: từ 900 đến 1000 thì \(h = 100\)).
b) Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa \({Q_3}\) và \({Q_1}\), ký hiệu là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính tần số tích luỹ
Kích thước của mẫu số liệu là \(N = 100\). Ta có \(\frac{N}{4} = 25;\frac{{2N}}{4} = 50;\frac{{3N}}{4} = 75\)
Nhóm chứa \({Q_1}\) là [900; 1000)
\({Q_1} = 900 + \frac{{25 - 16}}{{14}} \times 100 \approx 964,29{\rm{ gam}}\)
Nhóm chứa \({Q_2}\) là [1000; 1100)
\({Q_2} = 1000 + \frac{{50 - 30}}{{23}} \times 100 \approx 1086,96{\rm{ gam}}\)
Nhóm chứa \({Q_3}\) là [1200; 1300)
\({Q_3} = 1200 + \frac{{75 - 68}}{{22}} \times 100 \approx 1231,82{\rm{ gam}}\)
b) Khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 1231,82 - 964,29 = 267,53\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 92 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Ở một phòng điều trị nội trú của bệnh viện, dữ liệu thống kê thời gian ngủ hằng đêm của hai bệnh nhân trong suốt một tháng được tổng hợp bởi hai bảng dưới đây:
Bệnh nhân nào có thời gian ngủ ổn định hơn?
Phương pháp giải:
Tính tần suất tích lũy cho cả hai bệnh nhân.
Xác định \({Q_1}\), \({Q_2}\), và \({Q_3}\) cho mỗi bệnh nhân.
Tính khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) cho mỗi bệnh nhân.
So sánh khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}\) của hai bệnh nhân. Bệnh nhân có \({\Delta _Q}\) nhỏ hơn sẽ có thời gian ngủ ổn định hơn.
Lời giải chi tiết:
- Bệnh nhân A:
Tính tần suất tích luỹ:
Tính tứ phân vị:
\({Q_1} = 240 + \frac{{7.5 - 5}}{5} \times 60 = 240 + 30 = 270\) phút
\({Q_2} = 300 + \frac{{15 - 10}}{{10}} \times 60 = 300 + 30 = 330\) phút
\({Q_3} = 360 + \frac{{22.5 - 20}}{6} \times 60 = 360 + 25 = 385\) phút
Khoảng tứ phân vị là:
\(\Delta _Q^A = {Q_3} - {Q_1} = 385 - 270 = 115\) phút
- Bệnh nhân B:
Tính tần suất tích luỹ:
Tính tứ phân vị:
\({Q_1} = 240 + \frac{{7.5 - 2}}{9} \times 60 = 240 + 36,67 = 276,67\) phút
\({Q_2} = 300 + \frac{{15 - 11}}{{12}}.60 = 320\) phút
\({Q_3} = 300 + \frac{{22.5 - 11}}{{12}} \times 60 = 300 + 57,5 = 357,5\) phút
Khoảng tứ phân vị là:
\(\Delta _Q^B = {Q_3} - {Q_1} = 357.5 - 276.67 = 80.83\) phút
Vì \(\Delta _Q^B < \Delta _Q^A\) nên bệnh nhân B có thời gian ngủ ổn định hơn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 93 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Hình 3.3 là biểu đồ biểu diễn nhiệt độ trung bình hằng tháng của hai địa phương Y, Z.
a) Lập bảng số liệu ghép nhóm về nhiệm độ của hai địa phương Y, Z, với độ dài các nhóm là 5 và đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 40.
b) Tìm khoảng tứ phân vị của nhiệt độ mỗi địa phương và cho biết nhiệt độ của địa phương nào ít biến động hơn.
Phương pháp giải:
a)
- Tạo bảng với các hàng tương ứng với các khoảng nhiệt độ (5-10, 10-15, ..., 35-40) và hai cột tương ứng với địa phương Y và Z.
- Đếm số lượng tháng mà nhiệt độ trung bình rơi vào mỗi khoảng nhiệt độ cho từng địa phương.
b)
- Xác định khoảng tứ phân vị.
- Địa phương nào có khoảng tứ phân vị nhỏ hơn thì nhiệt độ của địa phương đó biến động ít hơn.
Lời giải chi tiết:
Đọc số liệu từ biểu đồ:
Lập bảng số liệu ghép nhóm:
b) Tính khoảng tứ phân vị và so sánh
\(Q_1^Y = 15 + \frac{{3 - 2}}{2}.5 = 17,5;Q_3^Y = 30 + \frac{{9 - 7}}{3}.5 = 33,3\)
\(Q_1^Z = 25 + \frac{{3 - 2}}{4}.5 = 26,25;Q_3^Z = 30 + \frac{{9 - 6}}{4}.5 = 33,75\)
\(\begin{array}{l}\Delta _Q^Y = Q_3^Y - Q_1^Y = 33,3 - 17,5 = 15,8\\\Delta _Q^Z = Q_3^Z - Q_1^Z = 33,75 - 26,25 = 7,5\end{array}\)
Vì \(\Delta _Q^Y > \Delta _Q^Z\) nên nhiệt độ của địa phương Z ít biến động hơn.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trở lại với bảng 3.1 về khối lượng của 100 quả dứa giống E. Để tiện tính toán, ta biểu diễn dữ liệu bằng một bảng hai cột như bảng trên.
a) Hãy tính các tứ phân vị của mẫu số liệu cho trong bảng.
b) Đề xuất một cách ước tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính tứ phân vị:
\({Q_x} = L + \left( {\frac{{{n_x} - F}}{f}} \right) \times h\)
Trong đó:
- \({Q_x}\) là giá trị tứ phân vị cần tìm \(\left( {{Q_1},{Q_2}} \right.\), hoặc \(\left. {{Q_3}} \right)\).
- \(L\) là cận dưới của khoảng chứa tứ phân vị.
- \({n_x}\) là vị trí của tứ phân vị trong tổng số mẫu (ví dụ, \({n_{{Q_1}}} = \frac{N}{4}\) cho \({\rm{Q}}1,{n_{{Q_2}}} = \frac{N}{2}\) cho Q2).
- \(F\) là tần suất tích lũy của khoảng liền trước khoảng chứa tứ phân vị.
- \(f\) là tần suất của khoảng chứa tứ phân vị.
- \(h\) là độ dài của khoảng giá trị (ví dụ: từ 900 đến 1000 thì \(h = 100\)).
b) Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa \({Q_3}\) và \({Q_1}\), ký hiệu là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính tần số tích luỹ
Kích thước của mẫu số liệu là \(N = 100\). Ta có \(\frac{N}{4} = 25;\frac{{2N}}{4} = 50;\frac{{3N}}{4} = 75\)
Nhóm chứa \({Q_1}\) là [900; 1000)
\({Q_1} = 900 + \frac{{25 - 16}}{{14}} \times 100 \approx 964,29{\rm{ gam}}\)
Nhóm chứa \({Q_2}\) là [1000; 1100)
\({Q_2} = 1000 + \frac{{50 - 30}}{{23}} \times 100 \approx 1086,96{\rm{ gam}}\)
Nhóm chứa \({Q_3}\) là [1200; 1300)
\({Q_3} = 1200 + \frac{{75 - 68}}{{22}} \times 100 \approx 1231,82{\rm{ gam}}\)
b) Khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 1231,82 - 964,29 = 267,53\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như đạo hàm của hàm số, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, hoặc các bài toán về giới hạn. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Bài 1: (Giả sử bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số y = x^3 - 2x^2 + 1) Giải: y' = 3x^2 - 4x
Bài 2: (Giả sử bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x + 2) Giải: y' = 3x^2 - 3. Giải phương trình y' = 0 ta được x = 1 và x = -1. Tính y'' = 6x. Tại x = 1, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Tại x = -1, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = -1.
Bài 3: (Giả sử bài tập yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x^2 - 4x + 3 trên đoạn [0; 2]) Giải: y' = 2x - 4. Giải phương trình y' = 0 ta được x = 2. Tính y(0) = 3, y(2) = -1. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.
Các bài tập trên trang 92 và 93 tiếp tục vận dụng các kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Học sinh cần chú ý phân tích đề bài, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và kiểm tra lại kết quả.
Ví dụ về bảng xét dấu đạo hàm:
| x | -∞ | x1 | x2 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | 0 | + |
| y | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 2 trang 89, 90, 91, 92, 93 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
