Chương 6. Xác suất có điều kiện

Chương 6: Xác suất có điều kiện - Giải Toán 12 Tập 2

Chương 6 trong SGK Toán 12 tập 2 tập trung vào khái niệm xác suất có điều kiện, một công cụ mạnh mẽ để phân tích các sự kiện phụ thuộc lẫn nhau. Hiểu rõ về xác suất có điều kiện là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu và tài chính.

1. Khái niệm Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của sự kiện B khi biết sự kiện A đã xảy ra, ký hiệu là P(B|A), được định nghĩa là:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (với P(A) > 0)

Trong đó:

P(A ∩ B) là xác suất của sự kiện giao của A và B.
P(A) là xác suất của sự kiện A.

Xác suất có điều kiện cho phép chúng ta điều chỉnh ước lượng về khả năng xảy ra của một sự kiện dựa trên thông tin về việc một sự kiện khác đã xảy ra.

2. Các Tính chất của Xác suất có điều kiện

0 ≤ P(B|A) ≤ 1
P(A|A) = 1
P(B|A) = P(B) nếu A và B độc lập.

3. Công thức Xác suất toàn phần và Công thức Bayes

a. Công thức Xác suất toàn phần:

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các sự kiện xung khắc và hợp của chúng bằng sự kiện A, thì:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

b. Công thức Bayes:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Công thức Bayes cho phép chúng ta cập nhật niềm tin về một giả thuyết (B_i) dựa trên bằng chứng mới (A).

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là sự kiện rút được quả bóng đỏ thứ nhất, B là sự kiện rút được quả bóng đỏ thứ hai.

P(A) = 5/8

P(B|A) = 4/7

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 5/14

Bài tập 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên giỏi ít nhất một trong hai môn.

Giải:

Gọi T là sự kiện học sinh giỏi Toán, V là sự kiện học sinh giỏi Văn.

P(T) = 0.6

P(V) = 0.4

P(T ∩ V) = 0.2

P(T ∪ V) = P(T) + P(V) - P(T ∩ V) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8

5. Ứng dụng của Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực:

Y học: Đánh giá hiệu quả của các phương pháp điều trị dựa trên các yếu tố nguy cơ.
Tài chính: Phân tích rủi ro và đưa ra quyết định đầu tư.
Marketing: Dự đoán hành vi của khách hàng và tối ưu hóa chiến dịch quảng cáo.
Khoa học dữ liệu: Xây dựng các mô hình dự đoán và phân loại.

6. Luyện tập và Củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về chương 6, bạn nên:

Đọc kỹ lý thuyết trong SGK.
Giải các bài tập trong SGK và sách bài tập.
Tìm kiếm các bài tập trực tuyến và luyện tập thường xuyên.
Tham khảo các nguồn tài liệu học tập khác.

montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài giải chi tiết trên, bạn sẽ học tốt môn Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới. Chúc bạn thành công!