Giải bài tập 6.9 trang 105 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 6.9 trang 105 SGK Toán 12 tập 2: Đề bài và Phân tích

Bài tập 6.9 trang 105 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
3. Vẽ đồ thị hàm số.

Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị của hàm số và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu của đạo hàm.

Lời giải chi tiết bài tập 6.9 trang 105 SGK Toán 12 tập 2

Bước 1: Tìm các điểm cực trị

Để tìm các điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm bậc nhất f'(x) = 3x² - 6x.
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm. Ta có: 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
3. Tính đạo hàm bậc hai f''(x) = 6x - 6.
4. Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm nghiệm:
   • f''(0) = -6 < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
   • f''(2) = 6 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2) và cực tiểu tại điểm (2; -2).

Bước 2: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến

Để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, ta xét dấu của đạo hàm bậc nhất f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2):

• f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 ⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
• f'(x) < 0 khi 0 < x < 2 ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2:

• Đồ thị đi qua các điểm (0; 2) (cực đại) và (2; -2) (cực tiểu).
• Đồ thị đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
• Đồ thị nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Đồ thị hàm số có dạng đường cong đi lên từ trái sang phải, đạt cực đại tại (0; 2), sau đó đi xuống và đạt cực tiểu tại (2; -2), rồi lại đi lên.

Lưu ý quan trọng khi giải bài tập

Khi giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, cần lưu ý những điều sau:

• Nắm vững các công thức tính đạo hàm cơ bản.
• Hiểu rõ điều kiện cực trị của hàm số.
• Biết cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến dựa vào dấu của đạo hàm.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.

Bài tập tương tự và luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu luyện thi Toán THPT Quốc gia. Ngoài ra, Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả trong các bài viết tiếp theo.

Kết luận

Bài tập 6.9 trang 105 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn thi Toán 12.