Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?

Đề bài

Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

- Đặt x là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH.

- Tính diện tích của hình vuông EFGH theo x.

- Tìm chiều cao từ đỉnh S xuống đáy.

- Tìm hàm thể tích và khảo sát.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có hình vẽ như sau:

Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 3

- Đặt x (cm) là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH (x∈\((0;2,5\sqrt 2 )\)).

Tương đương EF=FG=GH=EH=x nên \({S_{EFGH}} = {x^2}\)

Đặt SO là chiều cao của hình chóp S.EFGH.

- Độ dài đường chéo của hình vuông EFGH là \(HF = EG = \sqrt {{x^2} + {x^2}} = x\sqrt 2 \)cm.

- Ta có: \(SE = AE = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5 - x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {2.{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{2{x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {50 - 2{x^2}} \)

- Vì tam giác vuông SOE vuông tại O nên suy ra:

\(SO = \sqrt {S{E^2} - E{O^2}} = \sqrt {\frac{1}{4}(50 - 2{x^2}) - \frac{{2{x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \)

- Thể tích của hình chóp S.EFGH là:

\({V_{S.EFGH}} = \frac{1}{3}.{S_{EFGH}}.SO = \frac{1}{3}.{x^2}.\frac{1}{2}\sqrt {50 - 4{x^2}} = \frac{1}{6}{x^2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \)

Để thể tích hình chóp S.EFGH là lớn nhất thì \(f(x) = {x^2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \) phải đạt giá trị lớn nhất trong khoảng từ \((0;2,5\sqrt 2 )\).

- Tính đạo hàm: \(f'(x) = 2x\sqrt {50 - 4{x^2}} + {x^2}.\frac{{ - 4x}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }} = \frac{{ - 12{x^3} + 100x}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }} = \frac{{4x(3{x^2} - 25)}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }}\)

- Giải phương trình \(f'(x) = 0\)

\[4x(3{x^2} - 25) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = \frac{5}{{\sqrt 3 }},{x_3} = - \frac{5}{{\sqrt 3 }}\](loại \({x_1},{x_3}\) vì x > 0).

- Bảng biến thiên:

Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 4

Nhận thấy \(f(x)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{5}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là \(V = \frac{1}{6}.{\left( {\frac{5}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.\sqrt {50 - 4{{\left( {\frac{5}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} \approx 5,67c{m^3}\).

Bạn đang khám phá nội dung Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá trong chuyên mục bài tập toán 12 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và phương pháp giải

Bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và vẽ đồ thị hàm số.

Nội dung bài tập 1.32 thường gặp

Các dạng bài tập thường xuất hiện trong bài 1.32 bao gồm:

Tìm đạo hàm của hàm số: Yêu cầu tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
Xác định khoảng đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Tìm cực trị của hàm số: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị, sau đó xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị.
Vẽ đồ thị hàm số: Sử dụng các thông tin về đạo hàm, cực trị, giới hạn để vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp giải bài tập 1.32

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
Tìm điểm dừng và điểm không xác định của hàm số.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số (nếu yêu cầu).

Ví dụ minh họa giải bài tập 1.32

Bài toán: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Hãy khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.

Giải:

Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y' = 3x² - 6x
Điểm dừng: y' = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞
y' + - +
y ↗ ↘ ↗
Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = -2.
Đồ thị: (Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tìm được)

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	↗	↘	↗

Lưu ý khi giải bài tập 1.32

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
Sử dụng bảng biến thiên để phân tích sự biến thiên của hàm số một cách trực quan.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập.

Montoan.com.vn – Nơi đồng hành cùng bạn học Toán 12

Montoan.com.vn cung cấp đầy đủ các bài giải SGK Toán 12 tập 1, tập 2, các bài tập trắc nghiệm, đề thi thử và các tài liệu học tập hữu ích khác. Chúng tôi luôn cập nhật nội dung mới nhất và cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học Toán 12 hiệu quả hơn. Hãy truy cập montoan.com.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác!