Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?
Đề bài
Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đặt x là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH.
- Tính diện tích của hình vuông EFGH theo x.
- Tìm chiều cao từ đỉnh S xuống đáy.
- Tìm hàm thể tích và khảo sát.
Lời giải chi tiết
Theo đề bài ta có hình vẽ như sau:
- Đặt x (cm) là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH (x∈\((0;2,5\sqrt 2 )\)).
Tương đương EF=FG=GH=EH=x nên \({S_{EFGH}} = {x^2}\)
Đặt SO là chiều cao của hình chóp S.EFGH.
- Độ dài đường chéo của hình vuông EFGH là \(HF = EG = \sqrt {{x^2} + {x^2}} = x\sqrt 2 \)cm.
- Ta có: \(SE = AE = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5 - x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {2.{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \frac{{2{x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {50 - 2{x^2}} \)
- Vì tam giác vuông SOE vuông tại O nên suy ra:
\(SO = \sqrt {S{E^2} - E{O^2}} = \sqrt {\frac{1}{4}(50 - 2{x^2}) - \frac{{2{x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \)
- Thể tích của hình chóp S.EFGH là:
\({V_{S.EFGH}} = \frac{1}{3}.{S_{EFGH}}.SO = \frac{1}{3}.{x^2}.\frac{1}{2}\sqrt {50 - 4{x^2}} = \frac{1}{6}{x^2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \)
Để thể tích hình chóp S.EFGH là lớn nhất thì \(f(x) = {x^2}\sqrt {50 - 4{x^2}} \) phải đạt giá trị lớn nhất trong khoảng từ \((0;2,5\sqrt 2 )\).
- Tính đạo hàm: \(f'(x) = 2x\sqrt {50 - 4{x^2}} + {x^2}.\frac{{ - 4x}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }} = \frac{{ - 12{x^3} + 100x}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }} = \frac{{4x(3{x^2} - 25)}}{{\sqrt {50 - 4{x^2}} }}\)
- Giải phương trình \(f'(x) = 0\)
\[4x(3{x^2} - 25) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = \frac{5}{{\sqrt 3 }},{x_3} = - \frac{5}{{\sqrt 3 }}\](loại \({x_1},{x_3}\) vì x > 0).
- Bảng biến thiên:
Nhận thấy \(f(x)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{5}{{\sqrt 3 }}\)
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là \(V = \frac{1}{6}.{\left( {\frac{5}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}.\sqrt {50 - 4{{\left( {\frac{5}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} \approx 5,67c{m^3}\).
Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và vẽ đồ thị hàm số.
Nội dung bài tập 1.32 thường gặp
Các dạng bài tập thường xuất hiện trong bài 1.32 bao gồm:
- Tìm đạo hàm của hàm số: Yêu cầu tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
- Xác định khoảng đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Tìm cực trị của hàm số: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị, sau đó xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị.
- Vẽ đồ thị hàm số: Sử dụng các thông tin về đạo hàm, cực trị, giới hạn để vẽ đồ thị hàm số.
Phương pháp giải bài tập 1.32
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
- Tìm điểm dừng và điểm không xác định của hàm số.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số (nếu yêu cầu).
Ví dụ minh họa giải bài tập 1.32
Bài toán: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát hàm số và vẽ đồ thị.
Giải:
- Tập xác định: D = R
- Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x
- Điểm dừng: y' = 0 ⇔ 3x2 - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
- Bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞ y' + - + y ↗ ↘ ↗ - Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -2.
- Đồ thị: (Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tìm được)
Lưu ý khi giải bài tập 1.32
- Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
- Sử dụng bảng biến thiên để phân tích sự biến thiên của hàm số một cách trực quan.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
- Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Montoan.com.vn – Nơi đồng hành cùng bạn học Toán 12
Montoan.com.vn cung cấp đầy đủ các bài giải SGK Toán 12 tập 1, tập 2, các bài tập trắc nghiệm, đề thi thử và các tài liệu học tập hữu ích khác. Chúng tôi luôn cập nhật nội dung mới nhất và cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học Toán 12 hiệu quả hơn. Hãy truy cập montoan.com.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác!
Các bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự sau:
- Bài tập 1.33 trang 45 SGK Toán 12 tập 1
- Bài tập 1.34 trang 46 SGK Toán 12 tập 1
- Bài tập 1.35 trang 47 SGK Toán 12 tập 1
