Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = - {t^3} + 2t - t\), với 𝑡 (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 𝑠 (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠. b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
Đề bài
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = - {t^3} + 2t - t\), với 𝑡 (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 𝑠 (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠.
b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
b)
- Xác định biểu thức vận tốc.
- Tìm các điểm t trong khoảng từ 0 đến 2 để v(t) đạt cực trị.
Lời giải chi tiết
a)
- Tập xác định: \(D = \{ x \ge 0,x \in R\} \)
- Tính đạo hàm: \(s'(t) = - 3{t^2} + 4t - 1\)
Giải phương trình: \(s'(t) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 4t - 1 = 0 \Rightarrow {t_1} = 1,{t_2} = \frac{1}{3}\)
- Giới hạn
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } s(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - {t^3} + 2{t^2} - t} \right) = - \infty \)
- Bảng biến thiên:
- Vẽ đồ thị
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, \(\frac{1}{3}\)) và (1,∞)
Hàm số đồng biến trên khoảng (\(\frac{1}{3}\),1)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{2},{y_{CT}} = - \frac{4}{{27}}\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 0\)
b)
Ta có vận tốc: \(v(t) = s'(t) = - 3{t^2} + 4t - 1\)
Điểm cực trị của vận tốc:
Giải \(s''(t) = 0\): \( - 6t + 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\)
Vận tốc tại các điểm biên và cực trị:
\(\begin{array}{l}v(0) = - {3.0^2} + 4.0 - 1 = - 1\\v\left( {\frac{2}{3}} \right) = - 3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 4\left( {\frac{2}{3}} \right) - 1 = - \frac{{12}}{9} + \frac{8}{3} - 1 = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{1}{3}\\v(2) = - 3 \cdot {2^2} + 4 \cdot 2 - 1 = - 12 + 8 - 1 = - 5\end{array}\)
Vậy, vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian 2 giây là \(\frac{1}{3}\) m/s.
Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm của hàm số, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
Nội dung bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1
Bài tập yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để giải quyết một bài toán cụ thể. Thông thường, bài toán sẽ liên quan đến việc tìm điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến hoặc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu.
Phương pháp giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1
- Bước 1: Xác định hàm số và các điều kiện của bài toán. Đọc kỹ đề bài để xác định rõ hàm số cần tìm đạo hàm và các điều kiện ràng buộc của bài toán.
- Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số. Lưu ý, cần tính đạo hàm một cách chính xác và cẩn thận.
- Bước 3: Giải phương trình đạo hàm bằng 0. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Bước 4: Xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến. Sử dụng dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Bước 5: Kết luận. Dựa trên kết quả của các bước trên, đưa ra kết luận về bài toán.
Ví dụ minh họa giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1
Giả sử bài tập yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x. Ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x.
- Bước 2: f'(x) = 3x2 - 6x + 2.
- Bước 3: Giải phương trình 3x2 - 6x + 2 = 0, ta được x1 = (3 + √3)/3 và x2 = (3 - √3)/3.
- Bước 4: Xét dấu f'(x) trên các khoảng (-∞, (3 - √3)/3), ((3 - √3)/3, (3 + √3)/3) và ((3 + √3)/3, +∞). Ta thấy f'(x) > 0 trên các khoảng (-∞, (3 - √3)/3) và ((3 + √3)/3, +∞), và f'(x) < 0 trên khoảng ((3 - √3)/3, (3 + √3)/3).
- Bước 5: Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, (3 - √3)/3) và ((3 + √3)/3, +∞), nghịch biến trên khoảng ((3 - √3)/3, (3 + √3)/3).
Lưu ý khi giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1
- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
- Tính đạo hàm một cách chính xác và cẩn thận.
- Sử dụng dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ứng dụng của đạo hàm trong giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong việc giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1, bao gồm:
- Tìm điểm cực trị của hàm số.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Giải quyết các bài toán tối ưu.
- Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số.
Tổng kết
Bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này.
