Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - SGK Toán 12 - Giải chi tiết

Bài 4 trong SGK Toán 12 tập 1, chương 1, yêu cầu học sinh nắm vững phương pháp khảo sát hàm số và vẽ đồ thị. Đây là một phần quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu sắc về tính chất của hàm số và ứng dụng đạo hàm vào thực tế.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm cấp nhất: y' = f'(x)
3. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị.
4. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của y' để xác định.
5. Tìm cực đại, cực tiểu: Sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định.
6. Tìm điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0 để tìm điểm uốn.
7. Xác định tiệm cận: Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.
8. Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã tìm được.
9. Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các điểm đặc biệt để vẽ đồ thị.

II. Giải bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

1. Tập xác định: D = R
2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
3. Điểm cực trị: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Khoảng đồng biến, nghịch biến:
   • y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 => Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞)
   • y' < 0 khi 0 < x < 2 => Hàm số nghịch biến trên (0; 2)
5. Cực đại, cực tiểu:
   • x = 0: y'' = 6x - 6 = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2
   • x = 2: y'' = 6x - 6 = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = -2
6. Điểm uốn: y'' = 6x - 6 = 0 => x = 1
7. Tiệm cận: Không có tiệm cận.
8. Bảng biến thiên: (Bảng biến thiên được vẽ dựa trên các thông tin trên)
9. Vẽ đồ thị: (Đồ thị được vẽ dựa trên bảng biến thiên và các điểm đặc biệt)

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = (x-1)/(x+1)

(Giải tương tự như ví dụ 1, bao gồm các bước xác định tập xác định, đạo hàm, điểm cực trị, khoảng đồng biến nghịch biến, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị)

III. Lưu ý khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Luôn kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
• Tính toán đạo hàm chính xác.
• Phân tích dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định cực đại, cực tiểu và điểm uốn.
• Xác định tiệm cận một cách chính xác.
• Lập bảng biến thiên đầy đủ và chính xác.
• Vẽ đồ thị cẩn thận, chú ý đến các điểm đặc biệt.

IV. Bài tập luyện tập

Các em hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

• Bài 1: Khảo sát hàm số y = x⁴ - 4x² + 3
• Bài 2: Khảo sát hàm số y = (2x+1)/(x-1)

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Chúc các em học tập tốt!