Bài 4. Phương trình mặt cầu

Bài 4 trong chương trình Toán 12 tập 2, chương 5, tập trung vào việc tìm hiểu phương trình mặt cầu trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và công cụ toán học để mô tả và phân tích các đối tượng trong không gian ba chiều.

1. Khái niệm cơ bản về mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm. Khoảng cách này được gọi là bán kính của mặt cầu. Phương trình mặt cầu có dạng:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó:

(a, b, c) là tọa độ của tâm mặt cầu
R là bán kính của mặt cầu

2. Các dạng phương trình mặt cầu

Ngoài dạng phương trình tổng quát, phương trình mặt cầu còn có thể được biểu diễn dưới các dạng khác tùy thuộc vào vị trí của tâm và bán kính. Ví dụ:

Mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ: x² + y² + z² = R²
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ: (x - R)² + (y - R)² + (z - R)² = R²

3. Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Một phương trình có dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi:

A² + B² + C² - D > 0

Khi đó, tâm của mặt cầu là (-A, -B, -C) và bán kính là R = √(A² + B² + C² - D)

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1, -2, 3) và bán kính R = 5.

Giải: Phương trình mặt cầu là:

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:

x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z + 5 = 0

Giải: Ta có A = -1, B = 2, C = -3, D = 5. Kiểm tra điều kiện:

(-1)² + 2² + (-3)² - 5 = 1 + 4 + 9 - 5 = 9 > 0. Vậy đây là phương trình mặt cầu.

Tâm của mặt cầu là (1, -2, 3) và bán kính là R = √(1² + 2² + (-3)²) = √14

5. Ứng dụng của phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

Mô tả hình dạng của các vật thể hình cầu như quả bóng, hành tinh,...
Tính toán khoảng cách giữa các điểm trên mặt cầu
Giải các bài toán liên quan đến giao điểm của mặt cầu và đường thẳng, mặt phẳng

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

7. Tổng kết

Bài 4. Phương trình mặt cầu là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và tự tin hơn. Chúc các em học tốt!