Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2

Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin làm bài tập.

Mục 4 tập trung vào các kiến thức quan trọng của chương trình Toán 12, do đó việc nắm vững nội dung này là vô cùng cần thiết.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\). Gọi \({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) trên \((\alpha )\) (Hình 5.13). a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\). b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \ri

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:

a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);

b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:

\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:

\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:

\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)

b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:

\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).

b) Giải thích tại sao ta có \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|\). Từ đó, tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).

Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 0 1

Phương pháp giải:

- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).

- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).

- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.

- Từ biểu thức của tích vô hướng và độ lớn của các vectơ, tính được độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_0}\) là khoảng cách từ \({M_0}\) đến mặt phẳng \((\alpha )\).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:

\(Ax + By + Cz + D = 0,\)

trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).

\({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng, và \({M_1}({x_1},{y_1},{z_1})\) là hình chiếu vuông góc của \({M_0}\) lên mặt phẳng \((\alpha )\). Do \({M_1}\) nằm trên mặt phẳng, ta có:

\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)

Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)

Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)

Khai triển:

\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)

Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:

\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)

do đó:

\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)

Thay vào phương trình tích vô hướng:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)

Vậy ta có:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)

Do đó:

\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)

Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:

\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)

với \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\). Do \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và \(\vec n\) song song với nhau, nên \(\theta = {0^\circ }\), và \(\cos {0^\circ } = 1\). Do đó:

\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)

Suy ra:

\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:

Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?

Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 2 1

Phương pháp giải:

- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.

- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.

- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.

- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.

- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.

Lời giải chi tiết:

Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:

\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)

Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:

\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)

Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:

\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)

Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:

\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)

Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).

Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:

\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)

\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)

Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ8
LT10
VD2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 50 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Tính \(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right|\) theo \(A,B,C,D,{x_0},{y_0},{z_0}\).

Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải:

- Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xác định phương của đoạn thẳng từ \({M_0}\) đến hình chiếu \({M_1}\).

- Tính tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\).

- Giải thích mối liên hệ giữa tích vô hướng và độ lớn của các vectơ.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát:

\(Ax + By + Cz + D = 0,\)

trong đó, \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).

\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0.\)

Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) nối từ \({M_0}\) đến \({M_1}\) có dạng:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = ({x_1} - {x_0},{y_1} - {y_0},{z_1} - {z_0}).\)

Tích vô hướng của \(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \) và \(\vec n\) được tính là:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}).\)

Khai triển:

\(A({x_1} - {x_0}) + B({y_1} - {y_0}) + C({z_1} - {z_0}) = A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)

Từ phương trình mặt phẳng, ta biết:

\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D = 0\)

do đó:

\(A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} = - D.\)

Thay vào phương trình tích vô hướng:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - D - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}).\)

Vậy ta có:

\(\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D).\)

Do đó:

\(\left| {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \cdot \vec n} \right| = |A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|.\)

Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có:

\(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right| \cdot \cos \theta ,\)

\(\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \cdot \vec n} \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| \cdot \left| {\vec n} \right|.\)

Suy ra:

\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

Vậy khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0\) là:

\(\left| {{M_1}{M_0}} \right| = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách:

a) Từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - 2y + z - 5 = 0\);

b) Giữa hai mặt phẳng \((\alpha ):y - 4 = 0\) và \((\beta ):y + 5 = 0\).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng:

\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức:

\(d = \left| {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ điểm \(A( - 3; - 2; - 5)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) là:

\({d_A} = \frac{{\left| {2.( - 3) - 2.( - 2) + 1.( - 5) - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{(2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{12}}{3} = 4\)

b) Có thể thấy hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:

\(d = \frac{{\left| { - 4 - 5} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{1} = 9\)

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 51 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:

Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 2

Phương pháp giải:

- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.

- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.

- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.

- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.

- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.

Lời giải chi tiết:

Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:

\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)

Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:

\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)

\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)

Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:

\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)

Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:

\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}} = 20 = > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6 - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)

\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)

Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.

Bạn đang khám phá nội dung Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá trong chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Giải mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2: Tổng quan

Mục 4 của SGK Toán 12 tập 2 thường xoay quanh các chủ đề về số phức, bao gồm các phép toán cơ bản, biểu diễn hình học của số phức, và ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại số và hình học. Việc hiểu rõ các khái niệm và công thức liên quan đến số phức là nền tảng để giải quyết các bài tập trong mục này.

Nội dung chi tiết bài tập mục 4 trang 50, 51

Các bài tập trong mục 4 trang 50, 51 thường yêu cầu học sinh:

Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Tìm số phức liên hợp của một số phức.
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức.
Giải các phương trình bậc hai với hệ số phức.
Sử dụng số phức để giải các bài toán hình học.

Hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập

Bài 1: (Trang 50)

Bài 1 yêu cầu thực hiện phép cộng hai số phức. Để giải bài này, ta cần cộng riêng phần thực và phần ảo của hai số phức. Ví dụ, nếu z1 = a + bi và z2 = c + di, thì z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Bài 2: (Trang 50)

Bài 2 yêu cầu tìm số phức liên hợp của một số phức. Số phức liên hợp của z = a + bi là z' = a - bi. Việc tìm số phức liên hợp rất quan trọng trong việc tính toán mô-đun của số phức và giải các phương trình liên quan.

Bài 3: (Trang 51)

Bài 3 yêu cầu biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức. Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a, b) trên mặt phẳng phức. Việc biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức giúp ta hình dung rõ hơn về bản chất của số phức và các phép toán trên số phức.

Bài 4: (Trang 51)

Bài 4 yêu cầu giải phương trình bậc hai với hệ số phức. Để giải phương trình bậc hai với hệ số phức, ta có thể sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng việc tính toán với số phức có thể phức tạp hơn so với việc tính toán với số thực.

Các công thức và kiến thức cần nhớ

Để giải tốt các bài tập trong mục 4, các em cần nắm vững các công thức và kiến thức sau:

Định nghĩa số phức: z = a + bi, trong đó a là phần thực và b là phần ảo.
Số phức liên hợp: z' = a - bi.
Phép cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Mô-đun của số phức: |z| = √(a² + b²).
Biểu diễn hình học của số phức trên mặt phẳng phức.

Mẹo giải bài tập hiệu quả

Để giải bài tập về số phức hiệu quả, các em nên:

Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán.
Sử dụng các công thức và kiến thức đã học một cách linh hoạt.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.

Ứng dụng của số phức

Số phức không chỉ có ý nghĩa trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác như vật lý, kỹ thuật điện, và xử lý tín hiệu. Ví dụ, số phức được sử dụng để mô tả các hiện tượng sóng, mạch điện xoay chiều, và các hệ thống điều khiển.

Kết luận

Hy vọng rằng với bài giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập mục 4 trang 50, 51 SGK Toán 12 tập 2. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.