THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những phương pháp giải toán tối ưu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
Đề bài
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. \(25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
B. \(24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
C. \(24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
D. \(26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Quãng đường mà vật di chuyển được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian:
\(S = \int_0^3 v (t){\mkern 1mu} dt\)
- Hàm \(v(t)\) là một phần của parabol, có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung. Từ đó, ta cần tìm phương trình của \(v(t)\) và tính tích phân trên đoạn từ \(0\) đến \(3\).
Lời giải chi tiết
Ta biết rằng đồ thị \(v(t)\) có dạng một parabol với đỉnh \(I(2;9)\), vậy phương trình của parabol có dạng:
\(v(t) = a{(t - 2)^2} + 9\)
Dựa vào điểm \((0,6)\) trên đồ thị (vận tốc tại thời điểm \(t = 0\)), ta thay vào phương trình để tìm \(a\):
\(6 = a{(0 - 2)^2} + 9\)
\(6 = 4a + 9 \Rightarrow 4a = - 3 \Rightarrow a = - \frac{3}{4}\)
Vậy phương trình của vận tốc là:
\(v(t) = - \frac{3}{4}{(t - 2)^2} + 9\)
Bây giờ, ta tính quãng đường \(S\) bằng cách lấy tích phân:
\(S = \int_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{{(t - 2)}^2} + 9} \right)} dt = \int_0^3 - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt + \int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt\)
Tính tích phân của \(9\):
\(\int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt = 9t|_0^3 = 9(3 - 0) = 27\)
Tính tích phân của \( - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}\): Sử dụng biến đổi \(u = t - 2\), tích phân trở thành:
\(\int_0^3 - \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt = \int_{ - 2}^1 - \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du\)
Tính tích phân của \({u^2}\):
\(\int_{ - 2}^1 - \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du = - \frac{3}{4} \cdot \frac{{{u^3}}}{3}|_{ - 2}^1 = - \frac{1}{4}\left( {{1^3} - {{( - 2)}^3}} \right) = - \frac{1}{4}(1 + 8) = - \frac{9}{4}\)
Vậy quãng đường \(S\) là:
\(S = 27 - \frac{9}{4} = \frac{{108}}{4} - \frac{9}{4} = \frac{{99}}{4} = 24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}\)
Chọn C.
Bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Giải tích, cụ thể là phần ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị, khoảng đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số trong chương trình Toán 12.
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu. Thông thường, bài tập 4.41 sẽ cho một hàm số và yêu cầu:
Để giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:
Giả sử hàm số được cho là: y = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định: D = R
Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm cực trị: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Tại x = 0, y' đổi dấu từ dương sang âm => x = 0 là điểm cực đại, y(0) = 2
- Tại x = 2, y' đổi dấu từ âm sang dương => x = 2 là điểm cực tiểu, y(2) = -2
Bước 4: Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6
Bước 5: Xác định khoảng lồi, lõm và điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1. Tại x = 1, y'' đổi dấu => x = 1 là điểm uốn, y(1) = 0
Bước 6: Khoảng đồng biến, nghịch biến:
Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, cần chú ý đến các điểm sau:
Bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán về khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự.
