THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán. Ngoài ra, chúng tôi còn có nhiều bài tập tương tự và các tài liệu học tập hữu ích khác.
Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: \(S(0;0;0)\), \(P(8;0;0)\), \(Q(8;18;0)\), \(T( - 1; - 1;7)\), \(R(9;19;7)\). Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.
Đề bài
Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: \(S(0;0;0)\), \(P(8;0;0)\), \(Q(8;18;0)\), \(T( - 1; - 1;7)\), \(R(9;19;7)\). Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Tính góc giữa hai cạnh kề
- Xác định vectơ chỉ phương của hai cạnh:
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:
\(\cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u||\vec v|}}\)
2. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
- Xác định các vectơ chỉ phương của cạnh bên và mặt đáy.
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:
\(\cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u||\vec v|}}\)
3. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy:
- Tính vectơ pháp tuyến của mặt bên và mặt đáy.
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} |}}{{|\overrightarrow {{n_1}} ||\overrightarrow {{n_2}} |}}\)
Lời giải chi tiết
- Tính góc giữa hai cạnh kề nhau:
Ta có các vectơ chỉ phương sau:
\(\overrightarrow {SP} = P - S = (8 - 0;0 - 0;0 - 0) = (8;0;0)\)
\(\overrightarrow {SQ} = Q - S = (8 - 0;18 - 0;0 - 0) = (8;18;0)\)
\(\overrightarrow {ST} = T - S = ( - 1 - 0; - 1 - 0;7 - 0) = ( - 1; - 1;7)\)
\(\overrightarrow {SH} = \overrightarrow {PQ} = (0;18;0)\)
\(\overrightarrow {SE} = (9; - 1;7)\)
Góc giữa những cặp cạnh kề nhau:
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {ST} ) = \frac{{8.( - 1) + 0.( - 1) + 0.( - 7)}}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{ - 8}}{{8.\sqrt {51} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {ST} ) \approx {98^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PE} ) = (\overrightarrow {HQ} ,\overrightarrow {HK} ) = (\overrightarrow {QH} ,\overrightarrow {QR} ) \approx {98^\circ }\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {EP} ,\overrightarrow {ER} ) = \frac{{( - 1).(0) + (1).(2) + ( - 7).(0)}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 7)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {51} .2}} = \frac{1}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {EP} ,\overrightarrow {ER} ) \approx {82^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {RE} ,\overrightarrow {RQ} ) = (\overrightarrow {TS} ,\overrightarrow {TK} ) = (\overrightarrow {KT} ,\overrightarrow {KH} ) \approx {82^\circ }\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {ET} ,\overrightarrow {EP} ) = \frac{{( - 10).( - 1) + (0).(1) + (0).( - 7)}}{{\sqrt {{{( - 10)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{10}}{{10.\sqrt {51} }} = \frac{1}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {ET} ,\overrightarrow {EP} ) \approx {82^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {TE} ,\overrightarrow {TS} ) = (\overrightarrow {KH} ,\overrightarrow {KR} ) = (\overrightarrow {RK} ,\overrightarrow {RQ} ) \approx {82^\circ }\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {PE} ,\overrightarrow {PQ} ) = \frac{{(1).(0) + ( - 1).(18) + (7).(0)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {7^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {51} .18}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {PE} ,\overrightarrow {PQ} ) \approx {98^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {QP} ,\overrightarrow {QR} ) = (ST,\overrightarrow {SH} ) = (\overrightarrow {HS} ,\overrightarrow {HK} ) \approx {98^\circ }\end{array}\)
\(\cos (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SH} ) = \frac{{8.(0) + 0.(18) + 0.(0)}}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = 0 \Rightarrow (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SH} ) = {90^\circ }\)
\(\cos (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PQ} ) = \frac{{( - 8).(0) + 0.(18) + 0.(0)}}{{\sqrt {{{( - 8)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = 0 \Rightarrow (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PQ} ) = {90^\circ }\)
Các cặp cạnh còn lại có số đo góc là 90°
- Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
Chọn một cạnh bên là ST.
Vectơ pháp tuyến của mặt đáy SPQH là:
\(\vec n = \overrightarrow {SP} \times \overrightarrow {SQ} = (0.0 - 0.18;0.8 - 8.0;8.18 - 0.8) = (0;0;144)\)
\( \Rightarrow \theta = \arccos \left( {\frac{7}{{\sqrt {51} }}} \right)\)
- Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.
Chọn mặt bên là STEP
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng STEP là:
\(\overrightarrow {{n_{STEP}}} = \overrightarrow {SP} .\overrightarrow {ST} = (0.7 - 0.( - 1);0.( - 1) - 8.7;8.( - 1) - 0.( - 1)) = (0; - 56; - 8)\)
Góc giữa mặt bên STEP và mặt đáy SPQH là:
\(\cos \theta = \frac{{\left| {0.0 + 0.( - 56) + 144.( - 8)} \right|}}{{\sqrt {{{144}^2}} .\sqrt {{{( - 56)}^2} + {{( - 8)}^2}} }} = \frac{{1208}}{{144.40\sqrt 2 }} = \frac{{151}}{{720\sqrt 2 }} \Rightarrow \theta \approx 81^\circ \)
Bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một phương trình hoặc hệ phương trình liên quan đến số phức. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:
Ví dụ, giả sử bài tập 5.29 yêu cầu tìm số phức z sao cho |z - (1 + i)| = 2. Chúng ta có thể giải bài tập này như sau:
Đặt z = a + bi, với a, b là các số thực. Khi đó, |z - (1 + i)| = |(a - 1) + (b - 1)i| = √((a - 1)2 + (b - 1)2). Theo đề bài, ta có √((a - 1)2 + (b - 1)2) = 2, suy ra (a - 1)2 + (b - 1)2 = 4. Đây là phương trình của một đường tròn trên mặt phẳng phức với tâm I(1, 1) và bán kính R = 2. Vậy, số phức z có dạng z = a + bi, với (a - 1)2 + (b - 1)2 = 4.
Ngoài bài tập 5.29, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến số phức và các phép toán trên số phức. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức và các phép toán trên số phức. Ngoài ra, chúng ta cũng cần rèn luyện kỹ năng giải toán và tư duy logic.
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, các em có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
Bài tập 5.29 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về số phức và các phép toán trên số phức. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em có thể giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
