THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Chúng tôi luôn cập nhật những bài giải mới nhất và chính xác nhất để hỗ trợ các em trong quá trình học tập.
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) (x{e^x}) và ((x - 1){e^x}); b) (frac{1}{2}{ln ^2}x) và (frac{{ln x}}{x}).
Đề bài
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) \(x{e^x}\) và \((x - 1){e^x}\);
b) \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) và \(\frac{{\ln x}}{x}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để xác định xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại, ta cần tính đạo hàm của một hàm số và kiểm tra xem có bằng với hàm số còn lại hay không.
Lời giải chi tiết
a) Xét \(f(x) = (x - 1){e^x}\), ta tính đạo hàm:
\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}[(x - 1){e^x}] = {e^x} + (x - 1){e^x} = x{e^x}\)
Vậy \((x - 1){e^x}\) là nguyên hàm của \(x{e^x}\).
b) Xét \(f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x\), ta tính tích phân:
\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.\frac{d}{{dx}}\left( {{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \ln x.\frac{1}{x} = \frac{{\ln x}}{x}\)
Vậy \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) là nguyên hàm của \(\ln x\).
Bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số và xác định các điểm cực trị. Đây là một bài tập quan trọng giúp củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc phân tích hàm số.
Bài tập 4.1 thường có dạng như sau: Cho hàm số y = f(x). Hãy tìm đạo hàm f'(x) và xác định các điểm cực trị của hàm số.
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tính đạo hàm của hàm số f(x). Lưu ý áp dụng đúng các quy tắc như quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp,...
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các giá trị x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Đồng thời, xác định các điểm x mà đạo hàm không xác định (ví dụ: mẫu số bằng 0).
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) bằng cách xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định. Dựa vào bảng biến thiên, xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số.
Kết luận về các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) và các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy tìm đạo hàm và xác định các điểm cực trị.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Việc giải bài tập 4.1 không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 12, đặc biệt là các bài toán về tối ưu hóa và ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.
montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em học sinh trong quá trình học tập môn Toán. Chúng tôi cung cấp đầy đủ các bài giải, lý thuyết, và bài tập trắc nghiệm để giúp các em đạt kết quả tốt nhất. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích!
