THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về cách biểu diễn và thực hiện các phép toán với vecto trong hệ tọa độ.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định tọa độ của một vecto, cách thực hiện các phép cộng, trừ, nhân với một số thực, và cách tính độ dài của một vecto dựa trên tọa độ của nó.
1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto
1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu các vecto và tích của một số với một vecto
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có: +) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\). +) \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\). +) \(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực. |
Ví dụ: Cho \(\overrightarrow a = (2; - 1;5),\overrightarrow b = (0;3; - 3),\overrightarrow c = (1;4; - 2)\). Tìm tọa độ của vecto \(\overrightarrow d = 2\overrightarrow a - \frac{1}{5}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c \).
Lời giải:
Ta có: \(2\overrightarrow a = (4; - 2;10);\frac{1}{5}\overrightarrow b = \left( {0;3; - 3} \right),3\overrightarrow c = (3;12; - 6)\).
Do đó \(\overrightarrow d = \left( {4 - 0 + 3; - 2 - \frac{3}{5} + 12;10 - \left( { - \frac{3}{5}} \right) + ( - 6)} \right)\) hay \(\overrightarrow d = \left( {7;\frac{{47}}{5};\frac{{23}}{5}} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó: +) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\). +) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{2}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác MNP có M(3;7;2), N(5;1;-1) và P(4;-4;-2). Tìm tọa độ:
a) Trung điểm I của đoạn thẳng MN.
b) Trọng tâm G của tam giác MNP.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm M(3;7;2) và N(5;1;-1), ta có \(I\left( {\frac{{3 + 5}}{2};\frac{{7 + 1}}{2};\frac{{2 - 1}}{2}} \right)\) hay I(4;4;\(\frac{1}{2}\)).
b) Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm theo tọa độ các đỉnh của tam giác MNP, ta có \(G(\frac{{3 + 5 + 4}}{3};\frac{{7 + 1 - 4}}{3};\frac{{2 - 1 - 2}}{3})\) hay \(G(4;\frac{4}{3}; - \frac{1}{3})\).
2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vecto
| Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\). |
Nhận xét: Từ công thức tính tích vô hướng hai vecto theo tọa độ, ta suy ra:
+) Nếu \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) thì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \)
+) Nếu \(A({x_A};{y_A};{z_A});B({x_B};{y_B};{z_B})\) thì khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \)
+) Nếu hai vecto \(\overrightarrow a = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow b = ({x_2};{y_2};{z_2})\) khác \(\overrightarrow 0 \) thì:
\(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2} .\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2} }}\)
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0\).
Trong chương trình Toán 12, phần hình học vectơ đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là việc ứng dụng tọa độ để giải quyết các bài toán. Việc nắm vững lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ là nền tảng để giải các bài toán phức tạp hơn.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Trong mặt phẳng tọa độ, một vectơ được xác định bởi hai điểm: điểm đầu và điểm cuối. Vectơ thường được ký hiệu là AB hoặc a.
Trong hệ tọa độ Oxy, một vectơ a có tọa độ (x; y), trong đó x là hoành độ và y là tung độ của vectơ. Nếu A(xA; yA) và B(xB; yB) là hai điểm trong mặt phẳng, thì vectơ AB có tọa độ (xB - xA; yB - yA).
Các phép toán trên vectơ thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối như sau:
Độ dài của vectơ a = (x; y) được tính bằng công thức: |a| = √(x2 + y2).
Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1. Để tìm vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ a, ta chia vectơ a cho độ dài của nó: a0 = a / |a|.
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán về chứng minh đẳng thức vectơ, tìm tọa độ điểm, tính diện tích hình, và xác định mối quan hệ giữa các điểm.
Ví dụ 1: Cho A(1; 2) và B(3; 4). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải: Tọa độ của vectơ AB là (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2).
Ví dụ 2: Cho a = (1; -2) và b = (3; 1). Tính 2a - b.
Giải:2a - b = 2(1; -2) - (3; 1) = (2; -4) - (3; 1) = (2 - 3; -4 - 1) = (-1; -5).
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và cần thiết về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong Toán 12. Chúc bạn học tập tốt!
