THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.10 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số, một trong những kiến thức nền tảng quan trọng của môn Toán 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) \(y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \([ - 4;1]\) b) \(y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 2\) trên khoảng \(( - \infty ;0)\) c) \(y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}}\)trên nửa khoảng \([2;6)\) d) \(y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} \) e) \(y = f(x) = {e^x} - x\)trên đoạn \([ - 1;2]\) f) \(y = f(x) = x\ln x\)trên đoạn \([{e^{ - 2}};e]\)
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) \(y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \([ - 4;1]\)
b) \(y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 2\) trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
c) \(y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}}\) trên nửa khoảng \([2;6)\)
d) \(y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} \)
e) \(y = f(x) = {e^x} - x\) trên đoạn \([ - 1;2]\)
f) \(y = f(x) = x\ln x\) trên đoạn \([{e^{ - 2}};e]\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1 Tính \(f'(x)\)
Bước 2 Lập bảng biến thiên
Bước 3 Tìm cực trị của hàm số trên đoạn
Bước 4 Suy ra điểm có giá trị lớn nhất, điểm có giá trị bé nhất của hàm số trên các khoảng
Lời giải chi tiết
a) \(y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn \([ - 4;1]\)
Hàm số trên xác định trên R
Ta có \(f'(x) = {x^2} + 4x + 3\)
Xét \(f'(x) = 0\)
\( \Rightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
Hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) đạt GTLN trên đoạn \([ - 4;1]\) tại x = 1 khi đó y = \(\frac{4}{3}\)
Hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) đạt GTNN trên đoạn \([ - 4;1]\) tại x = -4 và x= -1 khi đó y = \(\frac{{ - 16}}{3}\)
b) \(y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 2\) trên khoảng \(( - \infty ;0)\)
Hàm số trên xác định trên R/{0}
Ta có \(f'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\)
Xét \(f'(x) = 0\)
\( \Rightarrow {x^2} - 1 = 0\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
Vậy hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 2\) đạt GTLN trên khoảng \(( - \infty ;0)\) tại x=-1 khi đó y=-4
c) \(y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}}\) trên nửa khoảng \([2;6)\)
Hàm số xác định trên R/\(\left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\)
Ta có \(f'(x) = \frac{1}{{{{(2x - 3)}^2}}}\)
Vì \(f'(x) > 0\) với \(x \in R/\left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\)
Nên hàm số luôn đồng biến với \(x \in R/\left\{ {\frac{3}{2}} \right\}\)
Khi đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số \(y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{2x - 3}}\) đạt GTNN trên nửa khoảng \([2;6)\) tại x = 2 khi đó y = 0
d) \(y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} \)
Hàm số xác định với \(\begin{array}{l}x \in [ - 2;2]\\\end{array}\)
Ta có \(f'(x) = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}\)
Xét \(f'(x) = 0\)\( \Rightarrow x = 0\)
Từ đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm sô \(y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} \) đạt GTLN tại x = 0 khi đó y =2
Hàm sô \(y = f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} \) đạt GTNN tại x = 2 và x= -2 khi đó y =2
e) \(y = f(x) = {e^x} - x\) trên khoảng \([ - 1;2]\)
Hàm số xác định trên R
Ta có \(f'(x) = {e^x} - 1\)
Xét \(f'(x) = 0\)
\( \Rightarrow {e^x} - 1 = 0\)
\( \Rightarrow x = 0\)
Từ đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy
Hàm số\(y = f(x) = {e^x} - x\) đạt GTNN trên khoảng\([ - 1;2]\) tại x=0 khi đó y=0
Hàm số\(y = f(x) = {e^x} - x\) đạt GTNN trên khoảng\([ - 1;2]\) tại x=2 khi đó y=5,9
f) \(y = f(x) = x\ln x\) trên khoảng \([{e^{ - 2}};e]\)
Hàm số trên xác định với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(f'(x) = \ln x + 1\)
Xét \(f'(x) = \ln x + 1\) \( \Rightarrow x = {e^{ - 1}}\)
Từ đó ta có bảng biến thiên là
Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số\(y = f(x) = x\ln x\) đạt GTLN trên khoảng \([{e^{ - 2}};e]\) tại x=e khi đó y=e
Hàm số\(y = f(x) = x\ln x\) đạt GTLN trên khoảng \([{e^{ - 2}};e]\) tại x= \({e^{ - 1}}\) khi đó y= \( - {e^{ - 1}}\)
Bài tập 1.10 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn hàm số, cũng như các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là limx→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến tới khi x càng gần a nhưng không bằng a. Để tính giới hạn, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Để giải bài tập 1.10 trang 14 SGK Toán 12 tập 1, chúng ta cần xác định hàm số f(x) và giá trị a mà x tiến tới. Sau đó, áp dụng một trong các phương pháp trên để tính giới hạn.
Ví dụ, nếu bài tập yêu cầu tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2), chúng ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
(x2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2
Sau đó, thay x = 2 vào biểu thức x + 2, ta được:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = 2 + 2 = 4
Ngoài bài tập tính giới hạn trực tiếp, còn có một số dạng bài tập giới hạn hàm số thường gặp khác, như:
Để giải bài tập giới hạn hàm số một cách hiệu quả, bạn có thể áp dụng một số mẹo sau:
Bài tập 1.10 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Hy vọng với bài giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
