Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\). a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên. b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.
Đề bài
Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\).
a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên.
b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:
\(a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}}\)
Lấy tích phân của gia tốc để tìm vận tốc:
\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt\)
2. Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:
\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)
Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt\)
Lời giải chi tiết
a)
Gia tốc của quả bóng là hằng số:
\(a(t) = - 9,8{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\)
Lấy tích phân gia tốc để tìm vận tốc:
\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt = \int - 9,8{\mkern 1mu} dt\)
Tính tích phân gia tốc từ 0 đến 1:
\(\int_0^1 { - 9,8} dt = \left. { - 9,8t} \right|_0^1 = - 9,8.1 - 0 = - 9,8\)
Mà dựa trên định nghĩa tích phân, ta có:
\(\int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} = v(1) - v(0)\)
Suy ra, vận tốc tại thời điểm 1 giây là:
\(v(1) = \int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} + v(0) = - 9,8 + 24 = 14,2\)
Vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi ném là \(14.2{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\).
b)
Vận tốc của quả bóng:
\(v(t) = - 9.8t + 24\)
Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int {( - 9.8t + 24)} {\mkern 1mu} dt = - 4,9{t^2} + 24t + C\)
Vì \(s(0) = 1,5\) nên \(C = 1,5\)
Biết rằng khi bóng chạm đất thì \(s = 0\), suy ra thời gian quả bóng chạm đất là:
\({t_{cd}} \approx 4,96\)
Từ đó ta suy ra được quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất là:
\(s = \int_0^{4,96} {\left| {v(t)} \right|dt} \)
Thời điểm quả bóng đạt độ cao cực đại là khi vận tốc bằng 0:
\({t_{\max }} = \frac{{24}}{{9,8}} \approx 2,45\)
Suy ra:
\(s = \int_0^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} = \int_0^{2,45} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} + \int_{2,45}^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} \)
\(s = \left. {\left( { - 4,9{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^{2,45} + \left. {\left( {4,9{t^2} - 24t} \right)} \right|_{2,45}^{4,96}\)
\(s \approx 29,39 + 30,9 \approx 60,29\)
Tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất là 60,29m.
Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2: Đề bài
Bài tập 4.14 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Cụ thể, học sinh cần xác định:
- Tập xác định của hàm số.
- Các điểm cực trị của hàm số.
- Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2
1. Tập xác định
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
2. Các điểm cực trị
Để tìm các điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm bậc nhất y' = 3x2 - 6x.
- Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm dừng: 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
- Tính đạo hàm bậc hai y'' = 6x - 6.
- Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm dừng:
- Tại x = 0: y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là y(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2.
- Tại x = 2: y'' = 6(2) - 6 = 6 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là y(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2; -2).
3. Khoảng đồng biến, nghịch biến
Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất, ta có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
- y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2, do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
- y' < 0 khi 0 < x < 2, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
4. Vẽ đồ thị hàm số
Để vẽ đồ thị hàm số, ta cần xác định:
- Các điểm cực trị: (0; 2) và (2; -2).
- Giao điểm với trục Oy: y(0) = 2.
- Giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng: limx→+∞ (x3 - 3x2 + 2) = +∞ và limx→-∞ (x3 - 3x2 + 2) = -∞.
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và cách vẽ đồ thị hàm số. Ngoài ra, cần thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài tập thường gặp.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
- Bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2.
- Bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2.
Kết luận
Hy vọng bài giải chi tiết bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin làm bài tập. Chúc các em học tập tốt!
