Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem (t = 0) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số (T(t)). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi (T'(t) = - frac{3}{2}{e^{ - frac{t}{{50}}}})(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm (t = 30) phút.
Đề bài
Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút, ta làm như sau:
- Tìm hàm nhiệt độ \(T(t)\) dựa vào hàm \(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\) bằng cách áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).
- Xác định C từ điều kiện \(T(0) = 95\).
- Thay \(t = 30\) vào \(T(t)\) và tính nhiệt độ.
Lời giải chi tiết
Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi:
\(T'(t) = - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\).
Để tìm hàm số \(T(t)\), ta sẽ tích phân hàm \(T'(t)\):
\(\int {\left( { - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}} \right)dt} = - \frac{3}{2}\int {\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}.t}}} \right)dt} = - \frac{3}{2}\int {{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}^t}dt} \)
\( = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{\ln \left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}} + C = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{^{ - \frac{1}{{50}}}}} + C = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).
Vậy hàm số \(T(t)\) có dạng:
\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).
Theo đề bài khi \(t = 0\) phút, nhiệt độ của nước là 95°C:
\(T(0) = 95\)
\(95 = 75{e^0} + C\)
\(95 = 75 + C\)
\(C = 20\).
Vậy hàm số \(T(t)\) là:
\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + 20\).
Thay \(t = 30\) vào hàm số \(T(t)\):
\(T(30) = 75{e^{ - \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ - \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16\).
Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t = 30\) phút là khoảng \(61,16^\circ C\).
Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2: Đạo hàm và ứng dụng
Bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1. Phân tích đề bài và xác định yêu cầu
Đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = f(x) và tìm các điểm cực trị. Điều này có nghĩa là chúng ta cần:
- Tính đạo hàm f'(x).
- Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định.
- Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Sử dụng tiêu chuẩn xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
2. Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 (Ví dụ minh họa)
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2.
- Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
- Tìm điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được 3x2 - 6x = 0 => x(3x - 6) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:
- Khi x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0).
- Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2).
- Khi x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞).
- Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
3. Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng
Khi giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng, các em cần lưu ý:
- Nắm vững các công thức tính đạo hàm của các hàm số cơ bản.
- Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm (quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, hàm hợp).
- Kiểm tra kỹ các điều kiện xác định của hàm số.
- Vẽ sơ đồ biến thiên của hàm số để hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
4. Mở rộng kiến thức và luyện tập thêm
Để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
- Sách bài tập Toán 12 tập 2.
- Các trang web học toán online uy tín như montoan.com.vn.
Ngoài ra, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
5. Tổng kết
Bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đạo hàm | Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. |
| Điểm cực trị | Điểm mà hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu. |
| Khoảng đồng biến | Khoảng mà hàm số tăng. |
| Khoảng nghịch biến | Khoảng mà hàm số giảm. |
