THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và phương trình tích phân.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\) b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\) c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)
Đề bài
Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
a) \(\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0\) và \(\beta :2x + y + z - 3 = 0\)
b) \(\alpha :x - y + 2z - 1 = 0\) và \(\beta :x + 2y - z + 3 = 0\)
c) \(\alpha :x + 3y - 2z - 1 = 0\) và \(\beta :4x + 2y + 5z - 3 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (A;B;C)\) và \(\vec n' = (A';B';C')\). Khi đó:
\(\cos \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = \left| {\frac{{\vec n \cdot \vec n'}}{{\left| {\vec n} \right| \cdot \left| {\vec n'} \right|}}} \right| = \frac{{|AA' + BB' + CC'|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \cdot \sqrt {{{A'}^2} + {{B'}^2} + {{C'}^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (3;4;5)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (2;1;1)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 15\)
\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} = \sqrt {50} ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \)
\(\cos \theta = \frac{{15}}{{\sqrt {50} \times \sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt {300} }} = \frac{{15}}{{10\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\quad \Rightarrow \quad \theta = {30^\circ }\)
b)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (1;2; - 1)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 1 + ( - 1) \times 2 + 2 \times ( - 1) = - 3\)
\(|\overrightarrow {{n_1}} | = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt 6 ,\quad |\overrightarrow {{n_2}} | = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 6 \)
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 6 \times \sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta \approx 60^\circ \)
c)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3; - 2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\beta \): \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;2;5)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \times 4 + 3 \times 2 + ( - 2) \times 5 = 0\)
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\) nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, hay hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc giải phương trình, bất phương trình, hoặc hệ phương trình chứa căn thức. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định.
x² + 3x + 2 ≥ 0 => (x+1)(x+2) ≥ 0 => x ≤ -2 hoặc x ≥ -1
Bước 2: Biến đổi phương trình.
Bình phương hai vế: x² + 3x + 2 = (x + 1)²
=> x² + 3x + 2 = x² + 2x + 1
=> x = -1
Bước 3: Kiểm tra điều kiện.
x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≤ -2 hoặc x ≥ -1
Kết luận: Phương trình có nghiệm x = -1
Ngoài bài tập 5.27, SGK Toán 12 tập 2 còn nhiều bài tập tương tự về phương trình, bất phương trình chứa căn thức. Để giải tốt các bài tập này, các em cần luyện tập thường xuyên và nắm vững các phương pháp sau:
Ví dụ về phương pháp đặt ẩn phụ:
Giải phương trình √(x+1) + √(x+6) = 5
Đặt t = √(x+1) (t ≥ 0). Khi đó, √(x+6) = √(t² + 5)
Phương trình trở thành: t + √(t² + 5) = 5 => √(t² + 5) = 5 - t
Bình phương hai vế: t² + 5 = 25 - 10t + t² => 10t = 20 => t = 2
√(x+1) = 2 => x+1 = 4 => x = 3
Kiểm tra điều kiện: x = 3 thỏa mãn
Kết luận: x = 3
Hy vọng với bài giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải bài tập 5.27 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
