THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về Đạo hàm của hàm số. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Montoan.com.vn là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải SGK, bài tập trắc nghiệm, và các tài liệu học tập khác cho học sinh THPT.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Đề bài
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\).
b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành được tính bởi công thức:
\(V = \pi \int_a^b {{y^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
Lời giải chi tiết
a) Với \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sqrt {2 + \cos x} )}^2}} {\mkern 1mu} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 2 {\mkern 1mu} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x{\mkern 1mu} dx} \right] = \pi \left[ {\left. {2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} \right] = \pi \left( {\pi + 1} \right) = {\pi ^2} + \pi \)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = {\pi ^2} + \pi \)
b) Với \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\), ta có:
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_0^3 {{{({x^2} - 3x)}^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
- Khai triển biểu thức:
\({({x^2} - 3x)^2} = {x^4} - 6{x^3} + 9{x^2}.\)
- Tính tích phân:
\(V = \pi \left[ {\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx - 6\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx + 9\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx} \right].\)
- Các tích phân lần lượt là:
\(\int_0^3 {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^5}}}{5} = \frac{{243}}{5},\)
\(\int_0^3 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^4}}}{4} = \frac{{81}}{4},\)
\(\int_0^3 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^3}}}{3} = 9.\)
- Vậy thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - 6 \times \frac{{81}}{4} + 9 \times 9} \right) = \pi \left( {\frac{{243}}{5} - \frac{{486}}{4} + 81} \right) = \frac{{81}}{{10}}\pi \).
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và khảo sát hàm số.
Bài tập 4.24 thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của một hàm số, xác định các điểm cực trị của hàm số, hoặc giải một phương trình đạo hàm. Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Để giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một ví dụ cụ thể. Giả sử bài tập 4.24 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x.
Giải:
Ta có: f'(x) = 3x2 - 6x + 2.
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x1 = (6 + √(36 - 24)) / 6 = (6 + √12) / 6 = 1 + √3 / 3
x2 = (6 - √(36 - 24)) / 6 = (6 - √12) / 6 = 1 - √3 / 3
Để xác định loại cực trị, ta tính đạo hàm cấp hai:
f''(x) = 6x - 6
f''(x1) = 6(1 + √3 / 3) - 6 = 2√3 > 0, vậy x1 là điểm cực tiểu.
f''(x2) = 6(1 - √3 / 3) - 6 = -2√3 < 0, vậy x2 là điểm cực đại.
Vậy hàm số f(x) có một điểm cực đại tại x2 = 1 - √3 / 3 và một điểm cực tiểu tại x1 = 1 + √3 / 3.
Ngoài bài tập 4.24, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến đạo hàm. Để giải quyết các bài tập này, các em cần nắm vững các phương pháp sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Các em cũng có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên các trang web học toán uy tín.
Bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải mà chúng tôi đã cung cấp, các em sẽ có thể tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
