Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3). a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3).
a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), sau đó tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \). Nếu tích vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ, tức là , thì ba điểm thẳng hàng; ngược lại, chúng tạo thành một tam giác.
b) Trọng tâm G của tam giác ABC được xác định bằng công thức:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
c) Điểm D được xác định bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\) Tọa độ của tâm I của hình bình hành ABCD là trung điểm của hai đường chéo, và chu vi hình bình hành là 2(AB + BC).
Lời giải chi tiết
a) Tính các vectơ:
\(\overrightarrow {AB} = (1; - 4; - 2), \overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4; - 6)\)
Tích vô hướng:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1( - 2) + ( - 4)( - 4) + ( - 2)( - 6) = - 2 + 16 + 12 = 26\).
Độ dài của các vectơ:
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {21}, \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {56} \)
So sánh:
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \approx \sqrt {21} \times \sqrt {56} = \sqrt {1176} \ne 26\)
Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.
b) Tọa độ trọng tâm \(G\):
\(G\left( {\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{2 - 2 - 2}}{3};\frac{{3 + 1 - 3}}{3}} \right) = G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\)
c) Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), tức là \(\vec C - \vec D = \vec B - \vec A\), nên tọa độ D sẽ là:
\(D = (A - B) + C = (1 - 2;2 - ( - 2);3 - ( - 3)) + ( - 1; - 2; - 3) = ( - 2;2;3)\)
Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD :
\(I = \frac{{A + C}}{2} = \frac{{(1;2;3) + ( - 1; - 2; - 3)}}{2} = (0;0;0)\)
Chu vi hình bình hành ABCD :
\(AB = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(1 - 3)}^2}} = \sqrt {1 + 16 + 4} = \sqrt {21} \)
\(BC = \sqrt {{{( - 1 - 2)}^2} + {{( - 2 - ( - 2))}^2} + {{( - 3 - 1)}^2}} = \sqrt {9 + 0 + 16} = \sqrt {25} = 5\)
\(P = 2 \times (\sqrt {21} + 5)\)
Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải
Bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm bậc nhất: Đạo hàm bậc nhất của hàm số sẽ giúp chúng ta tìm ra các điểm nghi ngờ là cực trị.
- Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm nghi ngờ. Sau đó, xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất, ta xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
- Tìm cực trị: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.
- Vẽ đồ thị hàm số: Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là D = ℝ (tập hợp tất cả các số thực).
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất
y' = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm các điểm cực trị
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Khảo sát tính đơn điệu
Xét dấu y' trên các khoảng:
- Khoảng (-∞; 0): Chọn x = -1, y' = 3(-1)2 - 6(-1) = 9 > 0. Hàm số đồng biến.
- Khoảng (0; 2): Chọn x = 1, y' = 3(1)2 - 6(1) = -3 < 0. Hàm số nghịch biến.
- Khoảng (2; +∞): Chọn x = 3, y' = 3(3)2 - 6(3) = 9 > 0. Hàm số đồng biến.
Bước 5: Tìm cực trị
Tại x = 0, y = 03 - 3(0)2 + 2 = 2. Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2).
Tại x = 2, y = 23 - 3(2)2 + 2 = 0. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm (2; 0).
Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Mở rộng và các bài tập tương tự
Để hiểu sâu hơn về phương pháp khảo sát hàm số, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt vào các bài tập khác nhau sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập.
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các video hướng dẫn giải bài tập trên các kênh YouTube uy tín về toán học. Điều này sẽ giúp các em có thêm góc nhìn và cách tiếp cận khác nhau đối với bài toán.
Lưu ý quan trọng
Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, các em cần chú ý:
- Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm chính xác.
- Xét dấu đạo hàm một cách cẩn thận.
- Kết luận đúng loại cực trị.
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
