Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình giải tích, cụ thể là phần về đạo hàm của hàm số.
Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Ngoài ra, chúng tôi còn có các bài tập tương tự để các em luyện tập và củng cố kiến thức.
Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đề bài
Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định các điểm mà các chú kiến bắt đầu leo lên dây và điểm đến trên cột.
- Tính chiều dài của các đoạn dây (ví dụ: CM và BN) dựa trên vị trí các điểm gốc của dây.
- Dựa vào vận tốc của mỗi chú kiến, tính toán quãng đường mà mỗi chú kiến leo được sau thời gian đã cho.
- Sử dụng tọa độ của hai chú kiến sau thời gian leo lên để xác định khoảng cách giữa chúng, có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
Lời giải chi tiết
* Đặt gốc toạ độ tại A, trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy chứa cạnh AD và trục Oz chứa cạnh AM
- Toạ độ các điểm là: \(A(0;0;0)\), \(B(8;0;0)\), \(D(0;12;0)\), \(C(8;12;0)\), \(M(0;0;46)\), \(N(0;0;40)\).
* Tính chiều dài của dây cáp CM và BN:
- Dây cáp \(\overrightarrow {CM} ( - 8; - 12;46)\): \(CM = \sqrt {{{(0 - 8)}^2} + {{(0 - 12)}^2} + {{(46 - 0)}^2}} = 2\sqrt {581} \approx 48,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Dây cáp \(\overrightarrow {BN} ( - 8;0;40)\): \(BN = \sqrt {{{(0 - 8)}^2} + {{(40 - 0)}^2}} = 8\sqrt {26} \approx 40,8{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
* Tính quãng đường hai chú kiến leo lên sau 10 phút:
- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây CM: \({S_{CM}} = 3 \times 10 = 30{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây BN: \({S_{BN}} = 2.5 \times 10 = 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
* Xác định vị trí của hai chú kiến trên các dây cáp CM và BN sau 10 phút:
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây CM: \(\frac{{{S_{CM}}}}{{CM}} = \frac{{30}}{{48,2}} \approx 0,62\)
- Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là:
\(({x_{M'}},{y_{M'}},{z_{M'}}) = 0.62 \times \overrightarrow {CM} + C = (0,62 \times ( - 8);0,62 \times ( - 12);0,62 \times 46) + (8;12;0) \approx (3,04;4,56;28,52)\)
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây BN: \(\frac{{{S_{BN}}}}{{BN}} = \frac{{25}}{{40,8}} \approx 0,61\)
- Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là:
\(({x_{N'}},{y_{N'}},{z_{N'}}) = 0,61 \times \overrightarrow {BN} + \overrightarrow B = (0,61 \times ( - 8);0;0,61 \times 40) + (8;0;0) \approx (3,12;0;24,4)\)
* Tính khoảng cách giữa hai chú kiến Khoảng cách giữa hai chú kiến là:
\(d = \sqrt {{{({x_{M'}} - {x_{N'}})}^2} + {{({y_{M'}} - {y_{N'}})}^2} + {{({z_{M'}} - {z_{N'}})}^2}} \)
Thay các giá trị vào:
\(d = \sqrt {{{(3,04 - 3,12)}^2} + {{(4,56 - 0)}^2} + {{(28,52 - 24,4)}^2}} \approx 6,15\)
Vậy sau 10 phút, khoảng cách giữa hai chú kiến là khoảng 6,15 m (làm tròn đến hàng phần trăm).
Bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số hợp, hàm ẩn, hoặc áp dụng quy tắc đạo hàm để giải các bài toán thực tế. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Phân tích bài toán:
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán và các dữ kiện đã cho. Sau đó, chúng ta cần phân tích bài toán để tìm ra phương pháp giải phù hợp.
Lời giải chi tiết:
(Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2. Lời giải sẽ bao gồm các bước giải cụ thể, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức đạo hàm phù hợp. Ví dụ:)
Giả sử bài tập yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số y = sin(x2 + 1). Ta có thể giải bài tập này bằng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
Vậy, đạo hàm của hàm số y = sin(x2 + 1) là y' = 2x * cos(x2 + 1).
Các bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Lưu ý quan trọng:
Khi giải bài tập về đạo hàm, các em cần chú ý đến các quy tắc đạo hàm, các công thức đạo hàm đặc biệt và các kỹ năng phân tích bài toán. Ngoài ra, các em cũng cần kiểm tra lại kết quả của mình để đảm bảo tính chính xác.
Ứng dụng của đạo hàm:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Hy vọng rằng bài giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và các ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!