THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của montoan.com.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cùng các em đi sâu vào giải chi tiết các bài tập trong mục 2, trang 59, 60, 61, 62, 63 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ bản chất của từng bài toán, nắm vững phương pháp giải và tự tin áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}\)
b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}\)
Phương pháp giải:
- Hai đường thẳng song song: Nếu chúng có vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu chúng không cùng phương và có duy nhất một điểm chung.
- Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1;1; - 2)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 3;3; - 6)\)
Nhận thấy: \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) với \(k = \frac{1}{3}\)
Vậy hai đường thẳng song song.
b)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;3; - 1)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 2;1;3)\)
Nhận thấy không tồn tại giá trị k để \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 1.( - 2) + 3.1 + ( - 1).3 = - 2 \ne 0\) nên hai đường thẳng không song song cũng không vuông góc.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta giải hệ phương trình tham số từ hai đường thẳng.
Phương trình tham số của \(d\):
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad \quad t \in \mathbb{R}\)
Phương trình tham số của \(d'\)
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t'}\\{y = - 2 + t'}\\{z = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\quad \quad t' \in \mathbb{R}\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 2 - 2t'}\\{2 + 3t = - 2 + t'}\\{3 - t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất:
\(t = 1 - 2t'\)
Thay vào phương trình thứ hai:
\(2 + 3(1 - 2t') = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 5 - 6t' = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 7 = 7t'\quad \Rightarrow \quad t' = 1\)
Thay \(t' = 1\) vào \(t = 1 - 2t'\), ta có \(t = - 1\). Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba:
\(3 - ( - 1) = 1 + 3(1)\quad \Rightarrow \quad 4 = 4\)
Điều này đúng.
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \((x,y,z) = (0, - 1,4)\).
c)
- Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2,1,3)\).
- Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1,2,3)\).
\(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2} \ne \frac{3}{3}\)
Do đó, \(d\) và \(d'\) không song song.
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2t = 2 + t'}\\{2 + t = - 3 + 2t'}\\{ - 3 + 3t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất: \(t' = 2t - 1\). Thay vào phương trình thứ hai: \(t = \frac{7}{3}\), \(t' = \frac{{11}}{3}\). Thay vào phương trình thứ ba: Điều này sai
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm hai đường thẳng vuông góc nhau trong ba đường thẳng sau đây: \({d_1}:\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}},\quad {d_2}:\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{6},\quad {d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\).
- Kiểm tra tích vô hướng giữa các cặp vectơ chỉ phương để tìm ra hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết:
- Đường thẳng \({d_1}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\).
- Đường thẳng \({d_2}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\).
- Đường thẳng \({d_3}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\).
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 1 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 6 = - 3 + 2 - 12 = - 13\quad ({\rm{kh\^o ng vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 0 + ( - 2) \cdot ( - 1) = - 2 + 0 + 2 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = ( - 3) \cdot ( - 2) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot ( - 1) = 6 + 0 - 6 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
- Hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\) cũng vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai đường thẳng a và a' lần lượt là giá của hai vectơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) \(\vec a\) và \(\vec a'\) (Hình 5.21). Từ một điểm A bất kỳ, vẽ hai đường thẳng d và d' lần lượt song song với a và a'.
a) Hỏi a và a' có phải lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d' không? Vì sao?
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương tương ứng bằng 0, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của d và d' là lần lượt \(\vec a\) và \(\vec a'\) vì các đường thẳng được kẻ song song với đường thẳng gốc a và a'.
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau. Điều này đúng vì tính vuông góc của hai đường thẳng tương ứng với tính vuông góc của hai vectơ chỉ phương, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm \(t\) (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí \((6 + t;8 - t;3 + t)\) trên đường thẳng \({d_1}\). Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí
\((1 + t;2 + t;2t)\) trên đường thẳng \({d_2}\).
a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm \(t = 0\) và \(t = 10\).
c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.
Phương pháp giải:
a)
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không bằng cách so sánh vectơ chỉ phương.
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không bằng cách giải hệ phương trình.
b)
Tại mỗi thời điểm t, tính tọa độ hai điểm trên hai đường thẳng tương ứng.
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều:
\(d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \)
để tính khoảng cách giữa hai điểm tại các thời điểm yêu cầu.
c)
- Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm dưới dạng hàm theo t.
- Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số (tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0) để tìm giá trị t tại đó khoảng cách là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 1,1)\).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1,1,2)\).
Ta thấy hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không song song với nhau vì không có tỉ lệ giữa các tọa độ của hai vectơ. Vậy hai đường thẳng không song song.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta viết phương trình vị trí của hai điểm trên đường thẳng:
- Với \({d_1}\), điểm có tọa độ: \({M_1}(6 + t,8 - t,3 + t)\).
- Với \({d_2}\), điểm có tọa độ: \({M_2}(1 + t,2 + t,2t)\).
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 + t = 1 + t}\\{8 - t = 2 + t}\\{3 + t = 2t}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình này không có nghiệm. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau nên hai đường thẳng chéo nhau.
b)
Tại \(t = 0\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(6,8,3)\).
- Kiến đen: \({M_2}(1,2,0)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(2 - 8)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {25 + 36 + 9} = \sqrt {70} \approx 8.37{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Tại \(t = 10\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(16, - 2,13)\).
- Kiến đen: \({M_2}(11,12,20)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(11 - 16)}^2} + {{(12 + 2)}^2} + {{(20 - 13)}^2}} = \sqrt {25 + 196 + 49} = \sqrt {270} \approx 16.43{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
c)
Khoảng cách giữa hai chú kiến là hàm số:
\(d(t) = \sqrt {{{(1 + t - (6 + t))}^2} + {{(2 + t - (8 - t))}^2} + {{(2t - (3 + t))}^2}} .\)
Rút gọn biểu thức:
\(d(t) = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} = \sqrt {25 + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} .\)
\(d(t) = \sqrt {25 + (4{t^2} - 24t + 36) + ({t^2} - 6t + 9)} = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} .\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(d(t)\) bằng cách tính đạo hàm:
\(d'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {5{t^2} - 30t + 70} }}(10t - 30) = 0.\)
Giải phương trình: \(10t - 30 = 0\) cho \(t = 3\). Thay \(t = 3\) vào biểu thức khoảng cách:
\(d(3) = \sqrt {5{{(3)}^2} - 30(3) + 70} = \sqrt {45 - 90 + 70} = \sqrt {25} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chú kiến là 5 cm tại thời điểm \(t = 3\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Chọn các cụm từ thích hợp (song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau, cùng phương, không cùng phương, không có điểm chung, đúng một điểm chung, nhiều hơn một điểm chung cho các ô 
trong bảng sau:
Phương pháp giải:
- Song song: Hai đường thẳng song song nếu chúng cùng phương nhưng không cắt nhau.
- Cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng giao nhau tại một điểm và không cùng phương.
- Chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng và không giao nhau.
- Trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
- Cùng phương: Hai đường thẳng cùng phương nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương hoặc song song.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Chọn các cụm từ thích hợp (song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau, cùng phương, không cùng phương, không có điểm chung, đúng một điểm chung, nhiều hơn một điểm chung cho các ô 
trong bảng sau:
Phương pháp giải:
- Song song: Hai đường thẳng song song nếu chúng cùng phương nhưng không cắt nhau.
- Cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng giao nhau tại một điểm và không cùng phương.
- Chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng và không giao nhau.
- Trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
- Cùng phương: Hai đường thẳng cùng phương nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương hoặc song song.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}\)
b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}\)
Phương pháp giải:
- Hai đường thẳng song song: Nếu chúng có vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu chúng không cùng phương và có duy nhất một điểm chung.
- Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1;1; - 2)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 3;3; - 6)\)
Nhận thấy: \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) với \(k = \frac{1}{3}\)
Vậy hai đường thẳng song song.
b)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;3; - 1)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 2;1;3)\)
Nhận thấy không tồn tại giá trị k để \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 1.( - 2) + 3.1 + ( - 1).3 = - 2 \ne 0\) nên hai đường thẳng không song song cũng không vuông góc.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta giải hệ phương trình tham số từ hai đường thẳng.
Phương trình tham số của \(d\):
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad \quad t \in \mathbb{R}\)
Phương trình tham số của \(d'\)
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t'}\\{y = - 2 + t'}\\{z = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\quad \quad t' \in \mathbb{R}\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 2 - 2t'}\\{2 + 3t = - 2 + t'}\\{3 - t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất:
\(t = 1 - 2t'\)
Thay vào phương trình thứ hai:
\(2 + 3(1 - 2t') = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 5 - 6t' = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 7 = 7t'\quad \Rightarrow \quad t' = 1\)
Thay \(t' = 1\) vào \(t = 1 - 2t'\), ta có \(t = - 1\). Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba:
\(3 - ( - 1) = 1 + 3(1)\quad \Rightarrow \quad 4 = 4\)
Điều này đúng.
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \((x,y,z) = (0, - 1,4)\).
c)
- Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2,1,3)\).
- Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1,2,3)\).
\(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2} \ne \frac{3}{3}\)
Do đó, \(d\) và \(d'\) không song song.
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2t = 2 + t'}\\{2 + t = - 3 + 2t'}\\{ - 3 + 3t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất: \(t' = 2t - 1\). Thay vào phương trình thứ hai: \(t = \frac{7}{3}\), \(t' = \frac{{11}}{3}\). Thay vào phương trình thứ ba: Điều này sai
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai đường thẳng a và a' lần lượt là giá của hai vectơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) \(\vec a\) và \(\vec a'\) (Hình 5.21). Từ một điểm A bất kỳ, vẽ hai đường thẳng d và d' lần lượt song song với a và a'.
a) Hỏi a và a' có phải lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d' không? Vì sao?
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương tương ứng bằng 0, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của d và d' là lần lượt \(\vec a\) và \(\vec a'\) vì các đường thẳng được kẻ song song với đường thẳng gốc a và a'.
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau. Điều này đúng vì tính vuông góc của hai đường thẳng tương ứng với tính vuông góc của hai vectơ chỉ phương, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm hai đường thẳng vuông góc nhau trong ba đường thẳng sau đây: \({d_1}:\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}},\quad {d_2}:\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{6},\quad {d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\).
- Kiểm tra tích vô hướng giữa các cặp vectơ chỉ phương để tìm ra hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết:
- Đường thẳng \({d_1}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\).
- Đường thẳng \({d_2}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\).
- Đường thẳng \({d_3}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\).
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 1 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 6 = - 3 + 2 - 12 = - 13\quad ({\rm{kh\^o ng vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 0 + ( - 2) \cdot ( - 1) = - 2 + 0 + 2 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = ( - 3) \cdot ( - 2) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot ( - 1) = 6 + 0 - 6 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
- Hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\) cũng vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
Trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm \(t\) (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí \((6 + t;8 - t;3 + t)\) trên đường thẳng \({d_1}\). Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí
\((1 + t;2 + t;2t)\) trên đường thẳng \({d_2}\).
a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm \(t = 0\) và \(t = 10\).
c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.
Phương pháp giải:
a)
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không bằng cách so sánh vectơ chỉ phương.
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không bằng cách giải hệ phương trình.
b)
Tại mỗi thời điểm t, tính tọa độ hai điểm trên hai đường thẳng tương ứng.
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều:
\(d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \)
để tính khoảng cách giữa hai điểm tại các thời điểm yêu cầu.
c)
- Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm dưới dạng hàm theo t.
- Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số (tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0) để tìm giá trị t tại đó khoảng cách là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 1,1)\).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1,1,2)\).
Ta thấy hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không song song với nhau vì không có tỉ lệ giữa các tọa độ của hai vectơ. Vậy hai đường thẳng không song song.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta viết phương trình vị trí của hai điểm trên đường thẳng:
- Với \({d_1}\), điểm có tọa độ: \({M_1}(6 + t,8 - t,3 + t)\).
- Với \({d_2}\), điểm có tọa độ: \({M_2}(1 + t,2 + t,2t)\).
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 + t = 1 + t}\\{8 - t = 2 + t}\\{3 + t = 2t}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình này không có nghiệm. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau nên hai đường thẳng chéo nhau.
b)
Tại \(t = 0\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(6,8,3)\).
- Kiến đen: \({M_2}(1,2,0)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(2 - 8)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {25 + 36 + 9} = \sqrt {70} \approx 8.37{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Tại \(t = 10\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(16, - 2,13)\).
- Kiến đen: \({M_2}(11,12,20)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(11 - 16)}^2} + {{(12 + 2)}^2} + {{(20 - 13)}^2}} = \sqrt {25 + 196 + 49} = \sqrt {270} \approx 16.43{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
c)
Khoảng cách giữa hai chú kiến là hàm số:
\(d(t) = \sqrt {{{(1 + t - (6 + t))}^2} + {{(2 + t - (8 - t))}^2} + {{(2t - (3 + t))}^2}} .\)
Rút gọn biểu thức:
\(d(t) = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} = \sqrt {25 + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} .\)
\(d(t) = \sqrt {25 + (4{t^2} - 24t + 36) + ({t^2} - 6t + 9)} = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} .\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(d(t)\) bằng cách tính đạo hàm:
\(d'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {5{t^2} - 30t + 70} }}(10t - 30) = 0.\)
Giải phương trình: \(10t - 30 = 0\) cho \(t = 3\). Thay \(t = 3\) vào biểu thức khoảng cách:
\(d(3) = \sqrt {5{{(3)}^2} - 30(3) + 70} = \sqrt {45 - 90 + 70} = \sqrt {25} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chú kiến là 5 cm tại thời điểm \(t = 3\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình, ví dụ như nguyên hàm, tích phân hoặc các ứng dụng của đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các kỳ thi sắp tới.
Trang 59 thường chứa các bài tập vận dụng kiến thức cơ bản về nguyên hàm. Các bài tập này yêu cầu học sinh xác định nguyên hàm của một hàm số cho trước, sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và kỹ năng biến đổi đại số.
Trang 60 thường chứa các bài tập phức tạp hơn, yêu cầu học sinh sử dụng các phương pháp tính nguyên hàm như phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần.
Trang 61 có thể chứa các bài tập liên quan đến ứng dụng của nguyên hàm trong việc tính diện tích hình phẳng. Học sinh cần hiểu rõ cách xác định giới hạn tích phân và tính toán diện tích một cách chính xác.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 và trục Ox trong khoảng [0, 2].
Trang 62 thường tập trung vào các bài tập về tích phân xác định. Học sinh cần nắm vững định nghĩa của tích phân xác định và các tính chất của nó.
Ví dụ: Tính tích phân xác định ∫01 x2 dx.
Trang 63 thường chứa các bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết các bài toán phức tạp. Các bài tập này có thể liên quan đến nguyên hàm, tích phân, ứng dụng của tích phân hoặc các chủ đề khác trong chương trình.
Để giải bài tập Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả, học sinh cần:
Việc học Toán 12 đòi hỏi sự kiên trì và nỗ lực. Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, làm bài tập và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới!
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm F(x) |
|---|---|
| xn (n ≠ -1) | (xn+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
