THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về Đạo hàm của hàm số. Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Montoan.com.vn là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải SGK, bài tập trắc nghiệm, và các tài liệu học tập khác cho học sinh THPT.
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 6x - 5\) và trục hoành. (Hình 4.28) a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\). b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(S\) theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.
Đề bài
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 6x - 5\) và trục hoành. (Hình 4.28)
a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\).
b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(S\) theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm \(y = f(x)\) trên đoạn từ giao điểm của parabol với trục hoành.
Bước đầu tiên là tìm nghiệm của phương trình \[y = 0\] (giao điểm với trục hoành).
Sau đó, sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng.
b)
Diện tích của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức diện tích tam giác.
Sau đó, sử dụng kết quả mà Archimedes đã chỉ ra: Diện tích hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích của tam giác \(ABC\)
Lời giải chi tiết
a)
- Phương trình parabol là:
\(y = - {x^2} + 6x - 5.\)
- Tìm nghiệm của phương trình \(y = 0\):
\( - {x^2} + 6x - 5 = 0\quad \Rightarrow \quad x = 1,{\mkern 1mu} x = 5.\)
- Diện tích hình phẳng \(S\) được tính bằng tích phân:
\(S = \int_1^5 {( - {x^2} + 6x - 5)} {\mkern 1mu} dx.\)
Tính tích phân:
\(S = \left[ { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} - 5x} \right]_1^5 = \left( { - \frac{{125}}{3} + 50} \right) - \left( { - \frac{1}{3} - 2} \right) = \frac{{32}}{3}.\)
Vậy diện tích hình phẳng \(S = \frac{{32}}{3}\).
b)
- Diện tích tam giác \(ABC\) với \(A(3,4)\), \(B(1,0)\), và \(C(5,0)\) là:
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8.\)
- Theo Archimedes, diện tích hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\):
\(S = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{{32}}{3}.\)
Kết quả này khớp với kết quả của câu a.
Bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và khảo sát hàm số.
Bài tập 4.22 thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của một hàm số phức tạp, hoặc ứng dụng đạo hàm để giải quyết một bài toán tối ưu hóa. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm x0, hoặc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, và lũy thừa, ta có:
y' = 3x2 + 4x - 5
Khi giải bài tập về đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:
Montoan.com.vn cung cấp đầy đủ các bài giải SGK Toán 12 tập 1, tập 2, cùng với các bài tập trắc nghiệm và tài liệu học tập khác. Chúng tôi luôn cập nhật nội dung mới nhất và cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong môn Toán.
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm y' = f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
Hy vọng với bài giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 này, các em sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức đạo hàm và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
