THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Góc Toán 12 của montoan.com.vn! Đây là nơi bạn có thể tìm thấy những kiến thức cơ bản và nâng cao về các loại góc, mối quan hệ giữa chúng và ứng dụng trong giải toán.
Chúng tôi cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
1. Góc giữa hai đường thẳng
1. Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow {a'} = ({a_1}';{a_2}';{a_3}')\). Khi đó: \(\cos (d,d') = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_1}' + {a_2}{a_2}' + {a_3}{a_3}'} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{a_1}{'^2} + {a_2}{'^2} + {a_3}{'^2}} }}\) |
Lưu ý:
+ \({0^o} \le (d,d') \le {90^o}\).
+ Nếu d//d’ hoặc d\( \equiv \)d’ thì \((d,d') = {0^o}\).
+ \(d \bot d' \Leftrightarrow (d,d') = {90^o}\).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:
d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - t\\z = 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\) và d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + 2t'\\z = 3 - t'\end{array} \right.\) \((t' \in \mathbb{R})\).
Giải:
Đường thẳng d và d’ lần lượt có các vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1; - 1;2)\) và \(\overrightarrow {a'} = (1;2; - 1)\).
Ta có \(\cos (d,d') = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 - 1.2 + 2.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{6} = \frac{1}{2}\).
Vậy \((d,d') = {60^o}\).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Kí hiệu \(\left( {d,(\alpha )} \right)\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\). Khi đó: \(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}A + {a_2}B + {a_3}C} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\). |
Lưu ý:
+ \({0^o} \le (d,(\alpha )) \le {90^o}\).
+ Nếu \(d//(\alpha )\) hoặc \(d \subset (\alpha )\) thì \((d,(\alpha )) = {0^o}\).
+ \(d \bot (\alpha ) \Leftrightarrow (d,(\alpha )) = {90^o}\).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): \(x + y - 2z + 1 = 0\).
Giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = ( - 1;2; - 1)\), mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)\).
Ta có: \(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {( - 1).1 + 2.1( - 1).( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
Vậy \((d,(\alpha )) = {30^o}\).
3. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\). |
Lưu ý:
+ \({0^o} \le \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) \le {90^o}\).
+ Nếu \((\alpha )\)//\((\beta )\) hoặc \((\alpha ) \equiv (\beta )\) thì \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {0^o}\).
+ \((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow \left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {90^o}\).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng: :\((\alpha )\) \(2x + 2y - 4z + 1 = 0\) và \((\beta )\): \(x - z - 5 = 0\).
Giải:
Mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (2;2; - 4)\) và \(\overrightarrow {n'} = (1;0; - 1)\).
Ta có: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + ( - 4).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = {30^o}\).
Trong chương trình Toán 12, kiến thức về góc đóng vai trò vô cùng quan trọng, đặc biệt trong phần Lượng giác. Việc nắm vững lý thuyết góc không chỉ giúp bạn hiểu rõ bản chất của các khái niệm mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp.
Có bốn loại góc cơ bản:
Góc thường được đo bằng độ (°). Một vòng tròn đầy đủ là 360 độ. Ngoài độ, góc còn có thể được đo bằng radian (rad). Mối quan hệ giữa độ và radian là:
180° = π rad
Ngoài các loại góc cơ bản, còn có một số góc đặc biệt thường gặp:
Góc lượng giác là góc được tạo bởi tia Ox (tia đầu) và tia Ot (tia cuối) trên đường tròn lượng giác. Góc lượng giác có thể nhận giá trị dương, âm hoặc bằng không.
Các hàm lượng giác cơ bản bao gồm:
Một số công thức lượng giác quan trọng:
Lý thuyết góc được ứng dụng rộng rãi trong giải các bài toán liên quan đến:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Lý thuyết Góc Toán 12 là một phần kiến thức quan trọng và cần thiết. Hy vọng với những kiến thức và bài tập được cung cấp trong bài viết này, bạn sẽ nắm vững lý thuyết và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!
