Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:
a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\)
b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\)
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính tích vô hướng giữa hai vectơ, ta có thể áp dụng công thức:
\(\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos \theta \)
Lời giải chi tiết
Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh \(a\).
a) Tính \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} \):
- \(|\overrightarrow {BC} | = a\)
- \(|\overrightarrow {AH} | = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
- Góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AH} \) là \({45^^\circ }\) vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AH} } \right)} = 45^\circ \)
Do đó:
\(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} = |\overrightarrow {BC} | \cdot |\overrightarrow {AH} | \cdot \cos {45^\circ } = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = {a^2}\)
b) Tính \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} \):
- \(|\overrightarrow {AF} | = a\sqrt 2 \)
- \(|\overrightarrow {EG} | = a\sqrt 2 \)
- Góc giữa \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \) là \({60^\circ }\) vì \(\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AC} \) mà tam giác ACF đều.
Do đó:
\(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AF} | \cdot |\overrightarrow {EG} | \cdot \cos {60^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\)
c) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} \):
- \(|\overrightarrow {AC} | = a\sqrt 2 \)
- \(|\overrightarrow {FE} | = a\)
- Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {FE} \) là \({135^\circ }\) vì góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và vectơ đối của \(\overrightarrow {FE} \) là \(\overrightarrow {EF} \) là \(45^\circ \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {EF} } \right)} + \widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {FE} } \right)} = 180^\circ \)
Do đó:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = |\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {FE} | \cdot \cos {135^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos {135^\circ }\)
Vì \(\cos {135^\circ } = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta có:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - {a^2}\)
Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1: Tổng quan
Bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập thường liên quan đến việc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, đồng thời rèn luyện kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề.
Phương pháp giải bài tập khảo sát hàm số bằng đạo hàm
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm cấp một (y'): Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số.
- Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng không.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Tìm cực trị: Sử dụng dấu của đạo hàm để xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
- Tính đạo hàm cấp hai (y''): Tính đạo hàm bậc hai của hàm số.
- Tìm điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0 để tìm các điểm uốn của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.
Giải chi tiết bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 (Ví dụ)
Giả sử bài tập 2.7 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bước 1: Tập xác định
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là D = ℝ.
Bước 2: Đạo hàm cấp một
y' = 3x2 - 6x.
Bước 3: Điểm tới hạn
Giải phương trình y' = 0, ta được 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Bước 4: Khoảng đồng biến, nghịch biến
- Trên khoảng (-∞; 0), y' > 0, hàm số đồng biến.
- Trên khoảng (0; 2), y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Trên khoảng (2; +∞), y' > 0, hàm số đồng biến.
Bước 5: Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
Bước 6: Đạo hàm cấp hai
y'' = 6x - 6.
Bước 7: Điểm uốn
Giải phương trình y'' = 0, ta được 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1.
Điểm uốn là (1; 0).
Bước 8: Vẽ đồ thị
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Lưu ý khi giải bài tập khảo sát hàm số
- Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
- Rèn luyện thường xuyên để nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập khác nhau.
Montoan.com.vn – Nơi đồng hành cùng bạn học Toán
Montoan.com.vn là website học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các bài giải SGK Toán 12 tập 1, tập 2, cùng với các bài tập trắc nghiệm, đề thi thử và các tài liệu học tập hữu ích khác. Chúng tôi luôn cố gắng mang đến cho học sinh những trải nghiệm học tập tốt nhất, giúp các em tự tin chinh phục môn Toán.
Các bài tập tương tự
- Giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1
- Giải bài tập 2.9 trang 65 SGK Toán 12 tập 1
- Khảo sát hàm số bậc ba
