Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức về hàm số và đồ thị.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD có \(AB = 2a,CD = 2a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng \(MN = a\sqrt 7 \), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {NM} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MN} \) để từ đó tìm ra tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Lời giải chi tiết
- Vì \(M\) là trung điểm của BC, nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).
- Vì \(N\) là trung điểm của AD, nên \(\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
- Vectơ \(\overrightarrow {NM} \) có thể được viết là:
\(\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BM} \)
Với: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \)
Và: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {CD} } \right)\).
Suy ra:
\(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)
Ta có: \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} ) \cdot (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} )\)
Biểu thức này mở rộng thành:
\(\frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CD} \cdot \overrightarrow {CD} )\)
Biết rằng \(\overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NM} = M{N^2} = 7{a^2}\), \(AB = 2a\), \(CD = 2a\sqrt 3 \), ta suy ra:
\(7{a^2} = \frac{1}{4}(4{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + 12{a^2})\)
\(7{a^2} = \frac{1}{4}(16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} )\)
\(28{a^2} = 16{a^2} - 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - 6{a^2}\)
- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} }}{{|\overrightarrow {AB} | \cdot |\overrightarrow {CD} |}}\)
\(\cos \theta = \frac{{ - 6{a^2}}}{{2a.2a\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Suy ra góc giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là \(\theta = {150^\circ }\).
Giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1: Tổng quan và Phương pháp
Bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 thường liên quan đến việc xác định tính đơn điệu của hàm số, tìm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và các bước vẽ đồ thị hàm số.
Phân tích đề bài và xác định yêu cầu
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Ví dụ, đề bài có thể yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, tìm điểm cực đại, cực tiểu, hoặc vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định chính xác yêu cầu của bài toán sẽ giúp học sinh tập trung vào các bước giải cần thiết và tránh sai sót.
Áp dụng kiến thức về đạo hàm
Đạo hàm là công cụ quan trọng để giải quyết các bài tập về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, học sinh cần tính đạo hàm f'(x) và xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Tìm cực trị của hàm số
Để tìm cực trị của hàm số, học sinh cần giải phương trình f'(x) = 0 và xét dấu của f'(x) xung quanh các nghiệm của phương trình. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm x0, thì x0 là điểm cực đại của hàm số. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm x0, thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số
Sau khi tìm được các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, học sinh có thể vẽ đồ thị hàm số. Để vẽ đồ thị chính xác, cần xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, như giao điểm với các trục tọa độ, điểm cực trị, và các điểm uốn. Ngoài ra, cần chú ý đến giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và các giá trị bất thường của hàm số.
Ví dụ minh họa giải bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1
Giả sử bài tập 2.10 yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2x. Ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm: y' = 3x^2 - 6x + 2
- Giải phương trình y' = 0: 3x^2 - 6x + 2 = 0. Ta có hai nghiệm x1 = (3 - √3)/3 và x2 = (3 + √3)/3
- Xét dấu của y':
- Khi x < (3 - √3)/3, y' > 0, hàm số đồng biến
- Khi (3 - √3)/3 < x < (3 + √3)/3, y' < 0, hàm số nghịch biến
- Khi x > (3 + √3)/3, y' > 0, hàm số đồng biến
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, (3 - √3)/3) và ((3 + √3)/3, +∞), nghịch biến trên khoảng ((3 - √3)/3, (3 + √3)/3). Hàm số đạt cực đại tại x = (3 - √3)/3 và cực tiểu tại x = (3 + √3)/3.
Luyện tập thêm với các bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về hàm số, học sinh nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập
Hiện nay, có rất nhiều công cụ hỗ trợ học tập trực tuyến, như máy tính đạo hàm, vẽ đồ thị hàm số, và các diễn đàn học tập. Các công cụ này có thể giúp học sinh kiểm tra lại kết quả, tìm hiểu các phương pháp giải khác, và trao đổi kiến thức với các bạn học.
Lời khuyên khi giải bài tập Toán 12
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu.
- Nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và đồ thị hàm số.
- Thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả và so sánh với các lời giải khác.
- Luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và kỹ năng.
Kết luận
Bài tập 2.10 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về các kiến thức về hàm số và đồ thị. Bằng cách áp dụng các phương pháp giải phù hợp và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
