Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - SGK Toán 12

Trong chương trình Toán 12, việc tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số là một kỹ năng quan trọng, đặc biệt khi ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Bài học này sẽ đi sâu vào các khái niệm, định lý và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan.

I. Khái niệm về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là có giá trị lớn nhất tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số. Tương tự, hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số.

II. Điều kiện để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Để một hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một điểm x₀, cần thỏa mãn các điều kiện sau:

• x₀ là điểm dừng của hàm số, tức là f'(x₀) = 0.
• x₀ là điểm mút của khoảng xét.

Tuy nhiên, việc f'(x₀) = 0 chỉ là điều kiện cần, chưa đủ để kết luận x₀ là điểm cực trị. Cần phải xét dấu đạo hàm cấp hai f''(x₀) để xác định tính chất của điểm dừng.

III. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f'(x).
3. Tìm các điểm dừng của hàm số bằng cách giải phương trình f'(x) = 0.
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và các điểm mút của khoảng xét.
5. So sánh các giá trị tìm được để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đó.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

• Tập xác định: [-1; 3]
• f'(x) = 3x² - 6x
• Giải f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• Tính giá trị hàm số tại các điểm:

• f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2 = -2
• f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2
• f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2
• f(3) = 3³ - 3(3)² + 2 = 2

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2, đạt được tại x = 0 và x = 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -2, đạt được tại x = -1 và x = 2.

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau trong SGK Toán 12 tập 1, bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng cho trước.

• Câu 1: f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng (0; 4)
• Câu 2: f(x) = -x² + 6x - 5 trên đoạn [1; 4]

Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là nền tảng quan trọng cho việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúc các em học tập tốt!