Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 2 trong chương 5 của sách Toán 9 tập 1, Cánh diều, tập trung vào việc nghiên cứu mối quan hệ giữa đường thẳng và đường tròn. Để hiểu rõ bài học này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các định lý liên quan.

1. Khái niệm về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là độ dài đoạn vuông góc hạ từ A xuống d. Ký hiệu là d(A, d). Để tính khoảng cách này, ta sử dụng công thức:

d(A, d) = |Ax + By + C| / √(A² + B²)

Trong đó, đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0 và điểm A có tọa độ (x₀, y₀).

2. Các trường hợp vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Có ba trường hợp vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn:

• Trường hợp 1: Đường thẳng không cắt đường tròn (d > r): Khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kính đường tròn.
• Trường hợp 2: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (d = r): Khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn.
• Trường hợp 3: Đường thẳng cắt đường tròn (d < r): Khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính đường tròn.

Trong đó:

• d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.
• r là bán kính của đường tròn.

3. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, ta thường thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn.
2. Tìm phương trình của đường thẳng.
3. Tính khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng.
4. So sánh d với r để xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có tâm I(2, 3) và bán kính r = 5. Đường thẳng d có phương trình 3x + 4y - 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).

Giải:

Tính khoảng cách d từ I đến d:

d = |3(2) + 4(3) - 1| / √(3² + 4²) = |6 + 12 - 1| / √25 = 17 / 5 = 3.4

So sánh d với r: d = 3.4 < r = 5. Vậy đường thẳng d cắt đường tròn (C).

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho đường tròn (C) có tâm O(0, 0) và bán kính r = 2. Đường thẳng d có phương trình x - y + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).
• Bài 2: Cho đường tròn (C) có tâm I(1, -2) và bán kính r = 3. Đường thẳng d có phương trình 5x - 12y + 2 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C).

6. Kết luận

Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững kiến thức về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và các trường hợp vị trí tương đối sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!