Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 Cánh diều

Trong hình học phẳng, việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn là một vấn đề quan trọng. Nó là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao khả năng tư duy hình học.

1. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và đường tròn (O; R), ta xét khoảng cách d(O; d) từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d. Khoảng cách này được tính bằng công thức:

d(O; d) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Trong đó:

• (d) có phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0
• O(x₀; y₀) là tọa độ tâm đường tròn
• R là bán kính đường tròn

2. Các trường hợp vị trí tương đối

Dựa vào khoảng cách d(O; d) và bán kính R, ta có các trường hợp sau:

1. Trường hợp 1: d(O; d) > R: Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung. Đường thẳng nằm ngoài đường tròn.
2. Trường hợp 2: d(O; d) = R: Đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
3. Trường hợp 3: d(O; d) < R: Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung phân biệt. Đường thẳng cắt đường tròn.

3. Trường hợp đặc biệt: Đường thẳng đi qua tâm đường tròn

Nếu đường thẳng (d) đi qua tâm O của đường tròn (O; R), thì d(O; d) = 0. Do đó, d(O; d) < R, và đường thẳng (d) cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng nhau qua tâm O. Đường thẳng này được gọi là đường kính của đường tròn.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; 5) và đường thẳng d: 3x + 4y - 10 = 0. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn (O; 5).

Giải:

Giả sử O(0; 0). Khi đó:

d(O; d) = |3(0) + 4(0) - 10| / √(3² + 4²) = 10 / 5 = 2

Vì d(O; d) = 2 < 5 = R, nên đường thẳng d cắt đường tròn (O; 5) tại hai điểm.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; 3) và đường thẳng d: x = 4. Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường tròn (O; 3).

Giải:

Giả sử O(0; 0). Khi đó:

d(O; d) = |1(0) + 0(0) - 4| / √(1² + 0²) = 4

Vì d(O; d) = 4 > 3 = R, nên đường thẳng d nằm ngoài đường tròn (O; 3).

5. Ứng dụng của lý thuyết

Lý thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Xác định xem một tia sáng có cắt một vật thể hình tròn hay không.
• Tính toán quỹ đạo của một vật thể chuyển động gần một vật thể hình tròn.
• Thiết kế các bộ phận máy móc có hình dạng tròn và đường thẳng.

6. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, cần chú ý:

• Xác định đúng tọa độ tâm đường tròn và bán kính.
• Sử dụng đúng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
• So sánh khoảng cách này với bán kính để kết luận về vị trí tương đối.

Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã nắm vững lý thuyết về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 Cánh diều. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.