Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều
Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều - Nền tảng vững chắc
Chào mừng bạn đến với chuyên mục Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều của montoan.com.vn! Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các kiến thức cơ bản, các định lý quan trọng và các ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn nắm vững lý thuyết và tự tin áp dụng vào giải bài tập.
1. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực Trong hai số khác nhau luôn có số này nhỏ hơn số kia.
1. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực
Trong hai số khác nhau luôn có số này nhỏ hơn số kia.
- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết \(a < b\) hay \(b > a\).
- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.
- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.
Ta có các kết quả:
- Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì \(a < b\) hay \(b > a\).
- Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.
- Với hai số thực a, b, ta có:
\(ab > 0\) thì a, b cùng dương hoặc cùng âm (hay a, b cùng dấu) và ngược lại:
\(ab < 0\) thì a, b trái dấu và ngược lại.
- Với a, b là hai số thực dương, nếu \(a > b\) thì \(\sqrt a > \sqrt b \).
2. Bất đẳng thức
Khái niệm bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng \(a > b\) (hay \(a < b\), \(a \ge b\), \(a \le b\)) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. |
Chú ý:
Hai bất đẳng thức \(a < b\) và \(c < d\) (hay \(a > b\) và \(c > d\)) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.
Hai bất đẳng thức \(a < b\) và \(c > d\) (hay \(a > b\) và \(c < d\)) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.
Tính chất của bất đẳng thức
Với hai số thực a và b, ta có: - Nếu \(a > b\) thì \(a - b > 0\). Ngược lại, nếu \(a - b > 0\) thì \(a > b\). - Nếu \(a < b\) thì \(a - b < 0\). Ngược lại, nếu \(a - b < 0\) thì \(a < b\). - Nếu \(a \ge b\) thì \(a - b \ge 0\). Ngược lại, nếu \(a - b \ge 0\) thì \(a \ge b\). - Nếu \(a \le b\) thì \(a - b \le 0\). Ngược lại, nếu \(a - b \le 0\) thì \(a \le b\). |
Nhận xét: Do khẳng định nêu trên, để chứng minh \(a > b\), ta có thể chứng minh \(a - b > 0\) hoặc chứng minh \(b - a < 0\).
Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c\). Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\). Nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\). Nếu \(a \ge b\) thì \(a + c \ge b + c\). |
Ví dụ:Vì \(2023 < 2024\) nên \(2023 + \left( { - 19} \right) < 2024 + \left( { - 19} \right)\)
Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có: - Nếu \(a < b\) thì \(ac < bc\). - Nếu \(a > b\) thì \(ac > bc\). - Nếu \(a \le b\) thì \(ac \le bc\). - Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \ge bc\). |
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a, b, c và c < 0, ta có: Nếu \(a < b\) thì \(ac > bc\). Nếu \(a > b\) thì \(ac < bc\). Nếu \(a \le b\) thì \(ac \ge bc\). Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \le bc\). |
Ví dụ:
Vì \( - 7 < - 5\) và \(3 > 0\) nên \(3.\left( { - 7} \right) < 3.\left( { - 5} \right)\).
Vì \( - 7 < - 5\) và \( - 3 < 0\) nên \(\left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) > \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right)\).
Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức
Nếu \(a > b\) và \(b > c\) thì \(a > c\). |
Ví dụ: Vì \(\frac{{2024}}{{2023}} = 1 + \frac{1}{{2023}} > 1\) và \(\frac{{2021}}{{2022}} = 1 - \frac{1}{{2022}} < 1\) nên \(\frac{{2024}}{{2023}} > \frac{{2021}}{{2022}}\).
Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cánh diều: Tổng quan
Bất đẳng thức là một biểu thức toán học so sánh hai giá trị. Trong Toán 9, học sinh sẽ được làm quen với các loại bất đẳng thức cơ bản, các tính chất của bất đẳng thức và các phương pháp giải bất đẳng thức.
Các khái niệm cơ bản về Bất đẳng thức
- Bất đẳng thức: Là một mệnh đề chứa một trong các dấu <, >, ≤, ≥.
- Bất đẳng thức đúng: Là bất đẳng thức mà khi thay các giá trị cụ thể vào, biểu thức bên trái lớn hơn, nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng, nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức bên phải.
- Bất đẳng thức sai: Là bất đẳng thức không đúng với bất kỳ giá trị nào.
Các tính chất của Bất đẳng thức
- Tính chất bắc cầu: Nếu a < b và b < c thì a < c.
- Tính chất cộng: Nếu a < b thì a + c < b + c.
- Tính chất trừ: Nếu a < b thì a - c < b - c.
- Tính chất nhân với một số dương: Nếu a < b và c > 0 thì ac < bc.
- Tính chất nhân với một số âm: Nếu a < b và c < 0 thì ac > bc (đổi chiều bất đẳng thức).
Các loại Bất đẳng thức thường gặp trong Toán 9
- Bất đẳng thức bậc nhất một ẩn: Có dạng ax + b > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0).
- Bất đẳng thức tích: Có dạng f(x) * g(x) > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0).
- Bất đẳng thức chứa căn thức: Liên quan đến các biểu thức chứa căn bậc hai.
Phương pháp giải Bất đẳng thức
Việc giải bất đẳng thức đòi hỏi sự hiểu biết về các tính chất và kỹ năng biến đổi bất đẳng thức. Một số phương pháp giải bất đẳng thức thường được sử dụng:
- Biến đổi tương đương: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức về dạng đơn giản hơn.
- Xét dấu: Sử dụng phương pháp xét dấu để xác định khoảng giá trị của x thỏa mãn bất đẳng thức.
- Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: Ví dụ: bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải bất đẳng thức 2x + 3 > 5
Giải:
- 2x + 3 > 5
- 2x > 5 - 3
- 2x > 2
- x > 1
Vậy nghiệm của bất đẳng thức là x > 1.
Ví dụ 2: Giải bất đẳng thức (x - 1)(x + 2) < 0
Giải:
Xét dấu (x - 1)(x + 2):
| x | -2 | 1 |
|---|---|---|
| x - 1 | - | + |
| x + 2 | - | + |
| (x - 1)(x + 2) | + | - |
Vậy nghiệm của bất đẳng thức là -2 < x < 1.
Ứng dụng của Bất đẳng thức
Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác của đời sống. Ví dụ:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
- Chứng minh một biểu thức luôn dương hoặc luôn âm.
- Giải các bài toán thực tế liên quan đến so sánh và ước lượng.
Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bất đẳng thức, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.
