THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong chương trình Toán 9 Cánh diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, các tỉ số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cot), và cách ứng dụng chúng vào việc giải tam giác vuông.
1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn \({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\). \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \).
1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn
\({\rm{sin\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}};{\rm{cos\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}};\) \({\rm{tan\alpha }} = \frac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,kề}};{\rm{cot\alpha }} = \frac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}}.\) \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\). \(\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \). |
Tip học thuộc nhanh:
Sin đi học Cos không hư Tan đoàn kết Cotang kết đoàn |
Ví dụ:
Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:
\(\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\), \(\cot \alpha = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nhận xét: Hai góc nhọn có tổng bằng \({90^0}\) được gọi là hai góc phụ nhau.
Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Với \({0^0} < \alpha < {90^0}\), ta có: \(\sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha \); \(\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \); \(\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cot \alpha \); \(\cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \tan \alpha \). |
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc phụ nhau, ta có:
\(\sin \alpha = \cos \beta \), \(\cos \alpha = \sin \beta \), \(\tan \alpha = \cot \beta \), \(\cot \alpha = \tan \beta \).
Ví dụ:
\(\begin{array}{l}\sin {60^0} = \cos \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right) = \cos {30^0};\\\cos {52^0}30' = \sin \left( {{{90}^0} - {{52}^0}30'} \right) = \sin {37^0}30';\\\tan {80^0} = \cot \left( {{{90}^0} - {{80}^0}} \right) = \cot {10^0};\\\cot {82^0} = \tan \left( {{{90}^0} - {{82}^0}} \right) = \tan {8^0}.\end{array}\)
Bảng giá trị lượng giác của các góc \({30^0},{45^0},{60^0}\)
Quy ước:
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha = {\left( {\sin \alpha } \right)^2};\\{\cos ^2}\alpha = {\left( {\cos \alpha } \right)^2};\\{\tan ^2}\alpha = {\left( {\tan \alpha } \right)^2};\\{\cot ^2}\alpha = {\left( {\cot \alpha } \right)^2}.\end{array}\)
3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Người ta thường dùng các đơn vị số đo góc là độ (kí hiệu: \(^0\)), phút (kí hiệu: \('\)), giây (kí hiệu: \(''\)).
Ta có thể sử dụng nhiều loại máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của nó.
Lưu ý: ta cần đổi đơn vị đo về độ.
Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn
Để tính tỉ số lượng giác của một góc \(\alpha \), ta dùng các nút:
Để tính \(\cot \alpha \), ta tính \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }}\) hoặc \(\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\).
Bảng tóm tắt cách tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Ví dụ:
Xác định số đo của góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó
Bảng tóm tắt cách tính số đo của một góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác
Để tìm \(\alpha \) khi biết \(\cot \alpha \), ta tính \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) và dùng \(\tan \alpha \) để tính \(\alpha \).
Ví dụ:
Một số công thức mở rộng:
+) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
+) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
+) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
+) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
+) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\cot ^2}\alpha + 1\)
Trong chương trình Toán 9, phần Tỉ số lượng giác của góc nhọn đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán hình học và ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi AB = c, AC = b, BC = a. Khi đó:
Tương tự, ta có thể định nghĩa sin, cos, tan, cot của góc C.
Việc nắm vững bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) là rất quan trọng để giải toán nhanh chóng và chính xác. Dưới đây là bảng giá trị:
| Góc (°) | Sin | Cos | Tan | Cot |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | ∞ |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ | 0 |
Các tỉ số lượng giác có mối quan hệ mật thiết với nhau. Một số mối quan hệ quan trọng:
Tỉ số lượng giác được ứng dụng rộng rãi trong việc:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm. Tính sin B, cos B, tan B, cot B.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°. Biết BC = 10cm. Tính AB, AC.
Bài 3: Một người đứng ở một vị trí cách chân tòa nhà 20m, nhìn lên đỉnh tòa nhà với góc nâng 60°. Tính chiều cao của tòa nhà.
Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
