Lý thuyết Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số Toán 9 Cánh diều
Lý thuyết Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số Toán 9 Cánh diều
Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về một số phép biến đổi căn thức bậc hai trong chương trình Toán 9 Cánh diều. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các quy tắc quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến căn thức bậc hai một cách hiệu quả.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các phép biến đổi căn thức, cách đơn giản biểu thức chứa căn thức, và ứng dụng của những kiến thức này trong việc giải toán.
1. Căn thức bậc hai của một bình phương Quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương: Với mỗi biểu thức A, ta có: (sqrt {{A^2}} = left| A right|), tức là: (sqrt {{A^2}} = left| A right| = left{ begin{array}{l}A,khi,A ge 0\ - A,khi,A < 0end{array} right.)
1. Căn thức bậc hai của một bình phương
Quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương:
Với mỗi biểu thức A, ta có: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\), tức là: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,khi\,A \ge 0\\ - A\,khi\,A < 0\end{array} \right.\) |
Ví dụ:\(\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = \left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\,khi\,x \ge 2\\2 - x\,khi\,x \le 2\end{array} \right.\)
2. Căn thức bậc hai của một tích
Quy tắc về căn thức bậc hai của một tích:
Với các biểu thức A, B không âm, ta có: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \). |
Ví dụ:
\(\sqrt {4{a^2}} = \sqrt 4 .\sqrt {{a^2}} = 2\left| a \right|\);
\(\sqrt {2a} .\sqrt {8a} = \sqrt {2a.8a} = \sqrt {16{a^2}} = \sqrt {16} .\sqrt {{a^2}} = 4\left| a \right|\).
3. Căn thức bậc hai của một thương
Quy tắc về căn bậc hai của một thương
Với các biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\). |
Ví dụ:
\(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {4{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{5}\);
\(\frac{{\sqrt {125a} }}{{\sqrt {5a} }} = \sqrt {\frac{{125a}}{{5a}}} = \sqrt {25} = 5\).
4. Trục căn thức ở mẫu
Nhận xét: Phép biến đổi làm mất căn thức bậc hai ở mẫu thức của một biểu thức được gọi là trục căn thức ở mẫu của biểu thức đó.
- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(B \ge 0,{A^2} \ne B\), ta có: \(\frac{C}{{A + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {A - \sqrt B } \right)}}{{{A^2} - B}};\frac{C}{{A - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {A + \sqrt B } \right)}}{{{A^2} - B}}\). (\(A - \sqrt B \) được gọi là biểu thức liên hợp của \(A + \sqrt B \) và ngược lại). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}};\frac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\). (\(\sqrt A - \sqrt B \) được gọi là biểu thức liên hợp của \(\sqrt A + \sqrt B \) và ngược lại). |
Ví dụ:
\(\frac{2}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3.5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}\);
\(\frac{a}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right).\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{9 - 8}} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)a\).
Lý thuyết Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số Toán 9 Cánh diều
Căn thức bậc hai là một khái niệm quan trọng trong đại số, đặc biệt là ở chương trình Toán 9. Việc nắm vững lý thuyết và các phép biến đổi căn thức bậc hai là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và các bài tập thực hành để giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.
1. Khái niệm căn thức bậc hai
Căn thức bậc hai của một số thực a (với a ≥ 0) là số x sao cho x2 = a. Ký hiệu: √a. Trong đó:
- a là biểu thức dưới dấu căn, gọi là biểu thức trong căn.
- √ là dấu căn bậc hai.
Ví dụ: √9 = 3 vì 32 = 9.
2. Điều kiện xác định của căn thức bậc hai
Căn thức bậc hai √A chỉ xác định khi và chỉ khi A ≥ 0.
Ví dụ: √x + 1 xác định khi và chỉ khi x + 1 ≥ 0, tức là x ≥ -1.
3. Các phép biến đổi căn thức bậc hai
Có một số phép biến đổi căn thức bậc hai thường được sử dụng:
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: √A2B (với B ≥ 0) = |A|√B
- Đưa thừa số vào trong dấu căn: |A|√B = √A2B
- Khử mẫu của căn thức: √(A/B) = √A/√B (với B > 0)
- Trục căn thức ở mẫu: √(A) / √B = √(A)√B / B (với B > 0)
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: √72 = √(36 * 2) = √36 * √2 = 6√2
Ví dụ 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn: 3√5 = √(32 * 5) = √45
Ví dụ 3: Khử mẫu của căn thức: √(2/3) = √2/√3 = √2√3 / 3 = √6 / 3
Ví dụ 4: Trục căn thức ở mẫu: 1/√2 = √2 / 2
5. Bài tập thực hành
Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
- √125
- √243
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn:
- 2√7
- 5√3
Bài 3: Khử mẫu của căn thức:
- √(5/8)
- √(1/2)
Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:
- 3/√5
- 2/√7
6. Ứng dụng của các phép biến đổi căn thức bậc hai
Các phép biến đổi căn thức bậc hai được ứng dụng rộng rãi trong việc:
- Đơn giản biểu thức chứa căn thức.
- So sánh các căn thức.
- Giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức.
- Tính toán các giá trị gần đúng.
7. Lưu ý quan trọng
Khi thực hiện các phép biến đổi căn thức bậc hai, cần chú ý đến điều kiện xác định của căn thức và sử dụng đúng các quy tắc biến đổi. Việc hiểu rõ lý thuyết và thực hành thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số Toán 9 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
