Định lí Viète là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cách đầy đủ và dễ hiểu về lý thuyết Định lí Viète và các ứng dụng thực tế của nó trong chương trình Toán 9 Cánh diều.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá công thức, điều kiện áp dụng và cách sử dụng Định lí Viète để tìm nghiệm phương trình, tính tổng và tích của nghiệm một cách nhanh chóng và hiệu quả.
1. Định lí Viète Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)
1. Định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\); \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\) |
Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).
Nhận xét:
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) \(\left( {a \ne 0} \right)\): - Nếu \(ac < 0\) thì \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\), do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. - Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\). - Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\). |
Ví dụ: Phương trình \({x^2} + 3572x - 3573 = 0\) có \(a = 1 > 0,c = - 3573 < 0\), suy ra a và c trái dấu. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \({x^2} - 6x + 5 = 0\) có \(a + b + c = 1 + \left( { - 6} \right) + 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1,{x_2} = 5\).
Phương trình \(5{x^2} + 14x + 9 = 0\) có \(a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1,{x_2} = - \frac{9}{5}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \({x^2} - Sx + P = 0\). Điều kiện để có hai số đó là \({S^2} - 4P \ge 0\). |
Ví dụ: Hai số có tổng bằng 9, tích bằng 20 là nghiệm của phương trình \({x^2} + 9x + 20 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.1.20 = 1,\sqrt \Delta = 1\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{2} = 4;{x_2} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\).
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.
Định lí Viète là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt khi học về phương trình bậc hai. Việc nắm vững lý thuyết này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của phương trình mà còn hỗ trợ đắc lực trong việc giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Nếu phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thì:
Đây là công thức cơ bản và quan trọng nhất của Định lí Viète. Việc ghi nhớ và hiểu rõ công thức này là bước đầu tiên để áp dụng nó vào giải toán.
Định lí Viète chỉ áp dụng khi phương trình bậc hai có nghiệm. Điều này có nghĩa là:
Trong đó, Δ = b2 - 4ac là biệt thức của phương trình bậc hai.
Định lí Viète có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai. Dưới đây là một số ứng dụng phổ biến:
Nếu đề bài cho trước tổng và tích của hai nghiệm, ta có thể sử dụng Định lí Viète để tìm ra hai nghiệm đó. Ví dụ:
Cho phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Ta có:
Từ đó, ta có thể suy ra hai nghiệm của phương trình là x1 = 2 và x2 = 3.
Định lí Viète có thể được sử dụng để kiểm tra xem một giá trị cho trước có phải là nghiệm của phương trình hay không. Nếu giá trị đó thỏa mãn phương trình, thì nó là nghiệm của phương trình.
Nếu đề bài cho trước hai nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụng Định lí Viète để tìm ra các hệ số của phương trình.
Dưới đây là một số bài tập vận dụng Định lí Viète để giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết này:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Định lí Viète và ứng dụng trong Toán 9 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!