Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Trong chương trình Toán 9 tập 2, sách Cánh diều, Bài 2 tập trung vào việc tìm hiểu về tứ giác nội tiếp đường tròn. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học, liên quan đến mối quan hệ giữa tứ giác và đường tròn ngoại tiếp.

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn

Một tứ giác được gọi là nội tiếp đường tròn nếu bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Nói cách khác, tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác đó.

2. Điều kiện để một tứ giác nội tiếp đường tròn

Điều kiện cần và đủ để một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là tổng hai góc đối diện bằng 180° (hoặc π radian). Tức là:

∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°

Chứng minh:

Chiều thuận: Nếu ∠A + ∠C = 180°, thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Chiều nghịch: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, thì ∠A + ∠C = 180°.

3. Tính chất của tứ giác nội tiếp đường tròn

Góc tạo bởi tiếp tuyến và một cạnh của tứ giác nội tiếp bằng góc so le trong với góc đối diện của tứ giác.
Tổng các góc của một tứ giác nội tiếp luôn bằng 360°.

4. Ứng dụng của tứ giác nội tiếp đường tròn trong giải toán

Tứ giác nội tiếp đường tròn được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến góc, đường tròn và các yếu tố hình học khác. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

Tính góc của tứ giác khi biết một số góc khác.
Chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố hình học trong một tứ giác nội tiếp.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 80° và ∠C = 100°. Tính ∠B và ∠D.

Giải:

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn, ta có:

∠A + ∠C = 80° + 100° = 180° (đúng)
∠B + ∠D = 360° - (∠A + ∠C) = 360° - 180° = 180°

Do đó, ∠B và ∠D là hai góc bù nhau. Tuy nhiên, để tính chính xác ∠B và ∠D, cần thêm thông tin về mối quan hệ giữa chúng.

6. Bài tập luyện tập

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 70° và ∠B = 110°. Tính ∠C và ∠D.
Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°, thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Gọi O là tâm của đường tròn. Tính số đo góc BOC biết ∠BAC = 60°.

7. Kết luận

Bài 2 về tứ giác nội tiếp đường tròn là một phần quan trọng trong chương trình Toán 9 tập 2. Việc nắm vững định nghĩa, điều kiện và tính chất của tứ giác nội tiếp sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.