Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

I. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

1. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = a được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

• lim_x→a⁺ f(x) = ±∞
• lim_x→a^- f(x) = ±∞

Để tìm đường tiệm cận đứng, ta tìm các giá trị x mà mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0.

2. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = b được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

• lim_x→+∞ f(x) = b
• lim_x→-∞ f(x) = b

Để tìm đường tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng.

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

• lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0
• lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0

Để tìm đường tiệm cận xiên, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính a = lim_x→+∞ f(x)/x (hoặc lim_x→-∞ f(x)/x)
2. Tính b = lim_x→+∞ [f(x) - ax] (hoặc lim_x→-∞ [f(x) - ax])

II. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

1. Đường tiệm cận đứng

Mẫu số bằng 0 khi x = 1. Tử số tại x = 1 là 2(1) + 1 = 3 ≠ 0. Vậy đường tiệm cận đứng là x = 1.

2. Đường tiệm cận ngang

lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2. Vậy đường tiệm cận ngang là y = 2.

3. Đường tiệm cận xiên

Vì hàm số có đường tiệm cận ngang nên không có đường tiệm cận xiên.

III. Bài tập áp dụng

Tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x - 3) / (x + 2)
• y = (x² + 1) / (x - 1)
• y = (2x² - x + 1) / (x² + 3)

IV. Kết luận

Bài học về đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về đồ thị hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về đường tiệm cận. Chúc bạn học tập tốt!