Giải bài 4 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 4 trang 22 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật nhanh chóng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các bạn.
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}); b) (y = sqrt {{x^2} - 16} ).
Đề bài
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}\);
b) \(y = \sqrt {{x^2} - 16} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = + \infty \)
Vậy \(x = - 3,x = 1\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1\)
Vậy \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt {{x^2} - 16} = 0\)
Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x} = 1\) và
\(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 16} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 16} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 16} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 16}}{{\sqrt {{x^2} - 16} + x}} = 0\end{array}\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x} = - 1\) và
\(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 16} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 16} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 16} - x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 16}}{{\sqrt {{x^2} - 16} - x}} = 0\end{array}\)
Vậy đường thẳng \(y = - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Giải bài 4 trang 22 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng tính đạo hàm là yếu tố then chốt để hoàn thành tốt bài tập này.
Nội dung bài 4 trang 22 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Bài 4 tập trung vào việc tính đạo hàm của các hàm số lượng giác và hàm hợp. Cụ thể, học sinh cần tính đạo hàm của các hàm số như sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) và các hàm số được xây dựng từ các hàm số này thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hàm hợp.
Phương pháp giải bài 4 trang 22 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Để giải bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo, học sinh cần thực hiện theo các bước sau:
- Xác định hàm số cần tính đạo hàm: Đọc kỹ đề bài để xác định chính xác hàm số cần tính đạo hàm.
- Áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản: Sử dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác và các quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.
- Rút gọn biểu thức đạo hàm: Sau khi tính đạo hàm, cần rút gọn biểu thức để có kết quả cuối cùng đơn giản nhất.
- Kiểm tra lại kết quả: Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay các giá trị cụ thể của x vào hàm số và đạo hàm để đảm bảo tính chính xác.
Ví dụ minh họa giải bài 4 trang 22 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x).
Giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = cos(2x) * (2x)' = 2cos(2x)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = x2 + cos(x).
Giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng, ta có:
y' = (x2)' + cos'(x) = 2x - sin(x)
Các dạng bài tập thường gặp trong bài 4 trang 22 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
- Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác đơn giản.
- Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác phức tạp.
- Tính đạo hàm của các hàm hợp chứa hàm lượng giác.
- Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của các đại lượng lượng giác.
Lưu ý khi giải bài 4 trang 22 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Để giải bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo một cách hiệu quả, học sinh cần:
- Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản của các hàm số lượng giác.
- Hiểu rõ quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi tính đạo hàm để đảm bảo tính chính xác.
Tài liệu tham khảo hữu ích
Ngoài sách giáo khoa và sách bài tập, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt môn Toán 12:
- Các trang web học toán online uy tín.
- Các video bài giảng trên YouTube.
- Các diễn đàn trao đổi kiến thức toán học.
Kết luận
Bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Bằng cách nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản, quy tắc đạo hàm của hàm hợp và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả.
