Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn lại và vận dụng các kiến thức về đạo hàm để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số: Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
2. Cực trị của hàm số: Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở chứa x₀ sao cho f(x) ≤ f(x₀) với mọi x thuộc khoảng đó. Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở chứa x₀ sao cho f(x) ≥ f(x₀) với mọi x thuộc khoảng đó.
3. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số f(x) thì f'(x₀) = 0 và f'(x₀) đổi dấu khi x thay đổi qua x₀.
4. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x). Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f(x).

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp nhất f'(x).
2. Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
3. Lập bảng xét dấu f'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Xác định các điểm cực trị của hàm số dựa vào bảng xét dấu f'(x) và điều kiện cần để có cực trị.
5. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm giá trị cực đại, cực tiểu.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
2. Tìm điểm dừng: f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
3. Lập bảng xét dấu f'(x):

   x	-∞	0	2	+∞
   f'(x)	+	-	+
   f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

4. Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

IV. Bài tập áp dụng (tham khảo SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo)

Giải các bài tập từ 1.1 đến 1.6 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 để luyện tập và củng cố kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chú trọng việc phân tích kỹ đề bài, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và kiểm tra lại kết quả.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và phương pháp giải quyết các bài tập về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chúc bạn học tập tốt!