THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật nhanh chóng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các bạn.
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} - 2}}); b) (y = frac{{2{rm{x}} - 5}}{{3{rm{x}} + 1}}); c) (y = sqrt {4 - {x^2}} ); d) (y = x - ln {rm{x}}).
Đề bài
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:
a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}\);
b) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}\);
c) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \);
d) \(y = x - \ln {\rm{x}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) của hàm số. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in D\) mà tại đó đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) theo thứ tự tăng dần, xét dấu \(f'\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}^2}}} < 0\).
Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị.
b) Xét hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\).
Ta có \(y' = \frac{{17}}{{{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0\).
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
c) Xét hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\).
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại $x=0,{{y}_{CĐ}}=2$.
d) Xét hàm số \(y = x - \ln {\rm{x}}\).
Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{x};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} = 1\).
Bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các chương trình học toán cao hơn. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn giúp học sinh hiểu rõ hơn về sự biến đổi của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
Bài 3 yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải bài 3 trang 10 hiệu quả, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)
Giải: Ta phân tích tử số thành nhân tử: (x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2). Khi đó:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4
lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
Giải: Ta phân tích tử số thành nhân tử: (x^3 + 1) = (x + 1)(x^2 - x + 1). Khi đó:
lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x^2 - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Giải: Ta nhân tử số và mẫu số với liên hợp của tử số: √(x+1) + 1. Khi đó:
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x+1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2
Bài 3 trang 10 sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trên đây, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
