Giải bài 11 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 11 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 11 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - m}}{{x - 1}}) ((m) là tham số). a) Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị. b) Chứng tỏ rằng khi (m = 2), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{x - 1}}\) (\(m\) là tham số).
a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Chứng tỏ rằng khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Để đồ hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đạo hàm
\(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình \({x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\).
Vậy với \(m < 3\) thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Vì \(m = 2\) thoả mãn điều kiện \(m < 3\) nên khi \(m = 2\), hàm số có hai điểm cực trị.
Với \(m = 2\) hàm số có dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}}\)
Đạo hàm \(y' = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{x}} = 2\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và ${{y}_{CĐ}}=2$.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\).
Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = ax + b\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\6 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = 2x + 2\).
Giải bài 11 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Bài 11 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc tính đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và tìm cực trị. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa và ứng dụng thực tế.
Nội dung chi tiết bài 11 trang 32
Bài 11 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số. Học sinh cần áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, đạo hàm của hàm hợp.
- Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số. Dựa vào dấu của đạo hàm, học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Dạng 3: Tìm cực trị của hàm số. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, sau đó xét dấu của đạo hàm để xác định cực đại, cực tiểu.
Lời giải chi tiết từng phần của bài 11
Phần a: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1, ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và quy tắc đạo hàm của lũy thừa:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
Phần b: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, ta xét dấu của đạo hàm f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = (3 ± √3) / 3.
Xét dấu của f'(x) trên các khoảng (-∞, (3 - √3) / 3), ((3 - √3) / 3, (3 + √3) / 3), và ((3 + √3) / 3, +∞), ta có:
- f'(x) > 0 trên (-∞, (3 - √3) / 3) và ((3 + √3) / 3, +∞) => Hàm số đồng biến trên các khoảng này.
- f'(x) < 0 trên ((3 - √3) / 3, (3 + √3) / 3) => Hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Phần c: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số
Dựa vào kết quả xét dấu của đạo hàm, ta có:
- Hàm số đạt cực đại tại x = (3 - √3) / 3, giá trị cực đại là f((3 - √3) / 3).
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = (3 + √3) / 3, giá trị cực tiểu là f((3 + √3) / 3).
Mẹo giải nhanh bài tập đạo hàm
Để giải nhanh các bài tập về đạo hàm, học sinh nên:
- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Tính vận tốc và gia tốc trong vật lý.
- Tìm điểm tối ưu trong kinh tế.
- Xây dựng mô hình tăng trưởng trong sinh học.
Kết luận
Bài 11 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải nhanh trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
