Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 1 trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc xây dựng và hiểu rõ phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn. Bài học này sẽ giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng, và cách xác định phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố khác nhau.

1. Khái niệm cơ bản về mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến là một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó, (A, B, C) là tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2. Các dạng phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0
• Phương trình tham số: x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct Trong đó, (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng, và (a, b, c) là tọa độ của vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

3. Cách xác định phương trình mặt phẳng

a. Khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến

Nếu mặt phẳng đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và có vectơ pháp tuyến n = (A, B, C), thì phương trình của mặt phẳng là:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

b. Khi biết ba điểm không thẳng hàng

Nếu mặt phẳng đi qua ba điểm A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), và C(x_C, y_C, z_C) không thẳng hàng, ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ AB và AC:

n = AB x AC

Sau đó, sử dụng công thức ở phần a để tìm phương trình mặt phẳng.

c. Khi biết một điểm và hai vectơ nằm trong mặt phẳng

Nếu mặt phẳng đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và chứa hai vectơ u = (a₁, b₁, c₁) và v = (a₂, b₂, c₂) không cùng phương, ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ u và v:

n = u x v

Sau đó, sử dụng công thức ở phần a để tìm phương trình mặt phẳng.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2, -1, 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng là: 2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0 => 2x - y + z - 3 = 0

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), và C(0, 0, 1).

Giải: AB = (-1, 1, 0), AC = (-1, 0, 1). n = AB x AC = (1, 1, 1). Phương trình mặt phẳng là: (x - 1) + (y - 0) + (z - 0) = 0 => x + y + z - 1 = 0

5. Lưu ý quan trọng

• Kiểm tra xem các điểm đã cho có thẳng hàng hay không trước khi sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng qua ba điểm.
• Đảm bảo rằng vectơ pháp tuyến tìm được là đúng, vì nó quyết định phương trình mặt phẳng.
• Luyện tập nhiều bài tập để nắm vững các kỹ năng và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng.

6. Kết luận

Bài 1. Phương trình mặt phẳng là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học về hình học không gian. Việc nắm vững các khái niệm và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Chúc các em học tập tốt!