Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 4 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai khái niệm cốt lõi của giải tích: nguyên hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức trong chương này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các môn học liên quan đến toán học và khoa học kỹ thuật ở bậc đại học.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một bài toán ngược của phép vi phân. Có vô số nguyên hàm của một hàm số, chúng khác nhau bởi một hằng số cộng.

1. Các tính chất của nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.
Nguyên hàm của tích một hằng số với một hàm số bằng hằng số đó nhân với nguyên hàm của hàm số.

2. Bảng nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin x	-cos x + C
cos x	sin x + C

II. Tích phân

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x) và trục hoành trên đoạn [a, b].

1. Định nghĩa tích phân xác định

Tích phân xác định được định nghĩa thông qua tổng Riemann. Quá trình tính tổng Riemann là xấp xỉ diện tích dưới đường cong bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật nhỏ.

2. Các tính chất của tích phân xác định

Tích phân của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các tích phân.
Tích phân của tích một hằng số với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số.
Nếu f(x) là hàm số chẵn thì ∫_-a^a f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx.
Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫_-a^a f(x) dx = 0.

3. Phương pháp tính tích phân

Sử dụng định nghĩa tích phân xác định (thường dùng cho các hàm số đơn giản).
Sử dụng các tính chất của tích phân xác định.
Sử dụng phương pháp đổi biến số.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

III. Bài tập vận dụng

Chương 4 cung cấp một loạt các bài tập vận dụng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến nguyên hàm và tích phân. Các bài tập thường yêu cầu:

Tìm nguyên hàm của một hàm số.
Tính tích phân xác định của một hàm số.
Vận dụng các tính chất của tích phân để đơn giản hóa bài toán.
Giải các bài toán ứng dụng của tích phân (ví dụ: tính diện tích hình phẳng).

montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài giải chi tiết được cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán trong Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo.