Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc xOM' = xOM + α.

Kí hiệu: Q_O(α)(M) = M'.

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

Kí hiệu: Đ_O(M) = M'.

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.

III. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho điểm A(2, 3) và phép quay Q_O(90°). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép quay đó.

Giải:

Gọi O(0, 0) là tâm quay. Ta có:

OA = √((2-0)² + (3-0)²) = √13
Góc xOA = arctan(3/2)
Góc xOA' = arctan(3/2) + 90°
Tọa độ A' là (OA * cos(xOA'), OA * sin(xOA'))

Ví dụ 2: Cho điểm B(1, -2) và phép đối xứng tâm O(0, 0). Tìm ảnh B' của điểm B qua phép đối xứng tâm đó.

Giải:

Vì O là trung điểm của BB', ta có:

x_O = (x_B + x_B') / 2 => 0 = (1 + x_B') / 2 => x_B' = -1
y_O = (y_B + y_B') / 2 => 0 = (-2 + y_B') / 2 => y_B' = 2

Vậy B'(-1, 2).

IV. Luyện tập

Cho điểm C(-1, 4) và phép quay Q_O(180°). Tìm ảnh C' của điểm C qua phép quay đó.
Cho điểm D(3, -1) và phép đối xứng tâm I(2, 1). Tìm ảnh D' của điểm D qua phép đối xứng tâm đó.
Chứng minh rằng phép quay Q_O(α) và phép quay Q_O(-α) là hai phép biến hình nghịch đảo của nhau.

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp chúng ta nắm vững kiến thức về phép quay và phép đối xứng tâm. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và cách áp dụng của hai phép biến hình này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học trong chương trình Toán 11 và các chương trình học cao hơn. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!