Bài 5. Tích của một số với một vectơ

Bài 5. Tích của một số với một vectơ - SBT Toán 10 Cánh diều: Giải chi tiết

Bài 5 trong sách bài tập Toán 10 Cánh diều Tập 1 tập trung vào việc hiểu và vận dụng khái niệm tích của một số với một vectơ. Đây là một khái niệm quan trọng trong chương trình học vectơ, giúp học sinh làm quen với các phép toán trên vectơ và ứng dụng của chúng trong hình học.

I. Khái niệm tích của một số với một vectơ

Tích của một số thực k với một vectơ a, ký hiệu là ka, là một vectơ có:

• Hướng:
  • Nếu k > 0 thì vectơ ka cùng hướng với vectơ a.
  • Nếu k < 0 thì vectơ ka ngược hướng với vectơ a.
  • Nếu k = 0 thì ka là vectơ không 0.
• Độ dài: |ka| = |k| . |a|

Nói cách khác, tích của một số với một vectơ làm thay đổi độ dài của vectơ và có thể thay đổi hướng của nó.

II. Tính chất của phép nhân vectơ với một số

Phép nhân vectơ với một số có các tính chất sau:

1. (k + l)a = ka + la
2. k( a + b) = ka + kb
3. (k.l)a = k(la)
4. k(a - b) = ka - kb
5. 1.a = a
6. 0.a = 0

Những tính chất này giúp đơn giản hóa các biểu thức chứa vectơ và thực hiện các phép toán một cách hiệu quả.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho vectơ a có độ dài là 3 và hướng từ trái sang phải. Hãy vẽ vectơ 2a và -1.5a.

Giải:

• Vectơ 2a có độ dài gấp 2 lần vectơ a và cùng hướng với a.
• Vectơ -1.5a có độ dài bằng 1.5 lần độ dài vectơ a và ngược hướng với a.

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a và b cùng phương, ngược chiều nhau. Biết |a| = 4 và |b| = 2. Tính độ dài của vectơ 3a - 2b.

Giải:

Vì a và b cùng phương, ngược chiều nhau nên b = -ka với k > 0. Do |b| = 2 và |a| = 4 nên k = 1/2. Vậy b = -0.5a.

3a - 2b = 3a - 2(-0.5a) = 3a + a = 4a.

|3a - 2b| = |4a| = 4|a| = 4 * 4 = 16.

IV. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về tích của một số với một vectơ, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho vectơ a. Vẽ các vectơ 3a, -2a, 0.5a.
• Bài 2: Cho hai vectơ a và b cùng phương, cùng chiều. Biết |a| = 5 và |b| = 3. Tính độ dài của vectơ 2a + b.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 5. Tích của một số với một vectơ trong sách bài tập Toán 10 Cánh diều Tập 1. Chúc bạn học tốt!