1. Môn Toán
  2. Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6

Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6

Chào mừng các em học sinh đến với Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 tại montoan.com.vn. Đề thi này được biên soạn bám sát chương trình học kì 1 môn Toán 11 theo sách Cánh diều, giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Đề thi bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, bao phủ các chủ đề quan trọng trong chương trình học. Đi kèm với đề thi là đáp án chi tiết, giúp các em tự đánh giá kết quả và tìm ra những điểm cần cải thiện.

Đề bài

    Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
    Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
    Câu 1 :

    Hàm số nào sau đây có tập xác định \(\mathbb{R}\)?

    • A.

      \(y = \tan x\)

    • B.

      \(y = \cot x\)

    • C.

      \(y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x + 1}}\)

    • D.

      \(y = \frac{1}{{\cot x}}\)

    Câu 2 :

    Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan (2x - {15^o}) = 1\) trên khoảng \(( - {90^o};{90^o})\) bằng

    • A.

      \({30^o}\)

    • B.

      \( - {60^o}\)

    • C.

      \({0^o}\)

    • D.

      \( - {30^o}\)

    Câu 3 :

    Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) = {2024^n}\). Tính \({u_{n + 1}}\)?

    • A.

      \({u_{n + 1}} = {2024^n} + 2024\)

    • B.

      \({u_{n + 1}} = {2024^n} + 1\)

    • C.

      \({u_{n + 1}} = {2024^{n + 1}}\)

    • D.

      \({u_{n + 1}} = 2024(n + 1)\)

    Câu 4 :

    Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai d = -5. Khi đó –32 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

    • A.

      7

    • B.

      10

    • C.

      9

    • D.

      8

    Câu 5 :

    Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội q = 2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

    • A.

      3

    • B.

      7

    • C.

      9

    • D.

      5

    Câu 6 :

    Phát biểu nào sau đây là sai?

    • A.

      \(\lim {u_n} = c\) (\({u_n} = c\) là hằng số)

    • B.

      \(\lim {q^n} = 0\) \(\left( {\left| q \right| > 1} \right)\)

    • C.

      \(\lim \frac{1}{n} = 0\)

    • D.

      \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) \((k > 1)\)

    Câu 7 :

    Hàm số \(y = \frac{1}{{2x - 4}}\) gián đoạn tại điểm nào dưới đây?

    • A.

      x = 1

    • B.

      x = 0

    • C.

      x = 2

    • D.

      x = -1

    Câu 8 :

    Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

    • A.

      Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa

    • B.

      Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất

    • C.

      Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất

    • D.

      Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau

    Câu 9 :

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

    • A.

      MN//(ABCD)

    • B.

      AB//(SCD)

    • C.

      BC//(SAD)

    • D.

      MN//(SBD)

    Câu 10 :

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng OE?

    • A.

      (SBC)

    • B.

      (ABCD)

    • C.

      (SAC)

    • D.

      (CDE)

    Câu 11 :

    Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 5\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {2023 - 4f(x)} \right]\) bằng

    • A.

      2013

    • B.

      2003

    • C.

      1993

    • D.

      2015

    Câu 12 :

    Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x\) là

    • A.

      [-1;1]

    • B.

      [0;2]

    • C.

      \(\mathbb{R}\)

    • D.

      [-2;2]

    Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
    Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
    Câu 1 :

    Cho phương trình \({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

    a) Phương trình đã cho được viết lại như sau: \({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

    Đúng
    Sai

    b) Ta có \(\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x\).

    Đúng
    Sai

    c) Phương trình đã cho đưa về dạng \(\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\).

    Đúng
    Sai

    d) Nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\) \((k \in \mathbb{Z})\).

    Đúng
    Sai
    Câu 2 :

    Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\).

    a) Bốn số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là -1; 2; 5; 8.

    Đúng
    Sai

    b) Số hạng thứ 5 của dãy là 13.

    Đúng
    Sai

    c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = 2n - 3\).

    Đúng
    Sai

    d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

    Đúng
    Sai
    Câu 3 :

    Biết \(\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2\) và \(\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b\).

    a) Giá trị của a = 2.

    Đúng
    Sai

    b) Giá trị của b = 4.

    Đúng
    Sai

    c) a; 2; b lập thành một cấp số cộng.

    Đúng
    Sai

    d) a; b; 16 lập thành một cấp số nhân.

    Đúng
    Sai
    Câu 4 :

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD.

    Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 0 1

    a) Gọi \(I = CD \cap (MNP)\). Ba điểm I, N, P thẳng hàng.

    Đúng
    Sai

    b) MN//(ABD).

    Đúng
    Sai

    c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.

    Đúng
    Sai

    d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

    Đúng
    Sai
    Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
    Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
    Câu 1 :

    Hằng ngày mức nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mức nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày (t > 0) bởi công thức \(h = 4\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) + 16\). Mực nước của kênh cao nhất khi t bằng bao nhiêu?

    Đáp án:

    Câu 2 :

    Một rạp hát có 18 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 16 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 24 ghế,... cứ thế cho đến hàng cuối cùng. Hỏi tổng số ghế có trong rạp là bao nhiêu?

    Đáp án:

    Câu 3 :

    Tính giới hạn \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right]\). Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

    Đáp án:

    Câu 4 :

    Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\\ax\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne 1\\x = 1\end{array}\). Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án:

    Câu 5 :

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Tính tỉ số \(\frac{{IA}}{{IM}}\)?

    Đáp án:

    Câu 6 :

    Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD, AC = 6, BD = 8; tam giác SBD là tam giác đều. Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AI = x (0 < x < 3), (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (SBD). Diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD bằng \(\frac{{a{x^2}\sqrt 3 }}{b}\)​​. Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

    Đáp án:

    Lời giải và đáp án

      Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
      Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
      Câu 1 :

      Hàm số nào sau đây có tập xác định \(\mathbb{R}\)?

      • A.

        \(y = \tan x\)

      • B.

        \(y = \cot x\)

      • C.

        \(y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x + 1}}\)

      • D.

        \(y = \frac{1}{{\cot x}}\)

      Đáp án : C

      Phương pháp giải :

      Tìm tập xác định của từng hàm số.

      Lời giải chi tiết :

      Hàm số \(y = \tan x\) xác định \(\forall x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

      Hàm số \(y = \cot x\) xác định \(\forall x \ne k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

      Hàm số \(y = \frac{1}{{\cot x}}\) xác định \(\forall x \ne \frac{{k\pi }}{2}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

      Hàm số \(y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x + 1}}\) xác định với mọi giá trị của x.

      Câu 2 :

      Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan (2x - {15^o}) = 1\) trên khoảng \(( - {90^o};{90^o})\) bằng

      • A.

        \({30^o}\)

      • B.

        \( - {60^o}\)

      • C.

        \({0^o}\)

      • D.

        \( - {30^o}\)

      Đáp án : D

      Phương pháp giải :

      \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Lời giải chi tiết :

      \(\tan (2x - {15^o}) = 1 \Leftrightarrow 2x - {15^o} = {45^o} + k{180^o} \Leftrightarrow x = {30^o} + k{90^o}\) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Xét \( - {90^o} < x < {90^o} \Leftrightarrow - {90^o} < {30^o} + k{90^o} < {90^o} \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\).

      Suy ra k = -1 hoặc k = 0.

      Với k = -1, ta được \(x = - {60^o}\).

      Với k = 0, ta được \(x = {30^o}\).

      Vậy tổng các nghiệm là \( - {60^o} + {30^o} = - {30^o}\).

      Câu 3 :

      Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) = {2024^n}\). Tính \({u_{n + 1}}\)?

      • A.

        \({u_{n + 1}} = {2024^n} + 2024\)

      • B.

        \({u_{n + 1}} = {2024^n} + 1\)

      • C.

        \({u_{n + 1}} = {2024^{n + 1}}\)

      • D.

        \({u_{n + 1}} = 2024(n + 1)\)

      Đáp án : C

      Phương pháp giải :

      Thay n + 1 vào n.

      Lời giải chi tiết :

      Ta có \({u_{n + 1}} = {2024^{n + 1}}\).

      Câu 4 :

      Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai d = -5. Khi đó –32 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?

      • A.

        7

      • B.

        10

      • C.

        9

      • D.

        8

      Đáp án : D

      Phương pháp giải :

      Công thức số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

      Lời giải chi tiết :

      -32 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có \(32 = 3 + (n - 1)( - 5) \Leftrightarrow n = 8\).

      Câu 5 :

      Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội q = 2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

      • A.

        3

      • B.

        7

      • C.

        9

      • D.

        5

      Đáp án : B

      Phương pháp giải :

      Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: \({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).

      Lời giải chi tiết :

      Áp dụng công thức tổng số hạng của cấp số nhân ta có: \({S_3} = 1.\frac{{1 - {2^3}}}{{1 - 2}} = 7\).

      Câu 6 :

      Phát biểu nào sau đây là sai?

      • A.

        \(\lim {u_n} = c\) (\({u_n} = c\) là hằng số)

      • B.

        \(\lim {q^n} = 0\) \(\left( {\left| q \right| > 1} \right)\)

      • C.

        \(\lim \frac{1}{n} = 0\)

      • D.

        \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) \((k > 1)\)

      Đáp án : B

      Phương pháp giải :

      Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

      Lời giải chi tiết :

      Ta có \(\lim {q^n} = 0\) \(\left( {\left| q \right| < 1} \right)\) nên B sai.

      Câu 7 :

      Hàm số \(y = \frac{1}{{2x - 4}}\) gián đoạn tại điểm nào dưới đây?

      • A.

        x = 1

      • B.

        x = 0

      • C.

        x = 2

      • D.

        x = -1

      Đáp án : C

      Phương pháp giải :

      Tìm điểm mà tại đó hàm số không xác định

      Lời giải chi tiết :

      Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \), suy ra hàm số gián đoạn tại x = 2.

      Câu 8 :

      Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

      • A.

        Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa

      • B.

        Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất

      • C.

        Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất

      • D.

        Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau

      Đáp án : B

      Phương pháp giải :

      Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.

      Lời giải chi tiết :

       B sai vì hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó chúng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

      Câu 9 :

      Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

      • A.

        MN//(ABCD)

      • B.

        AB//(SCD)

      • C.

        BC//(SAD)

      • D.

        MN//(SBD)

      Đáp án : A

      Phương pháp giải :

      Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó song song với một đường thuộc mặt phẳng đó.

      Lời giải chi tiết :

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 1 1

      Vì MN là đường trung bình của tam giác SAC nên MN//AC.

      Mà AC thuộc mặt phẳng (ABCD) suy ra MN//(ABCD).

      Câu 10 :

      Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng OE?

      • A.

        (SBC)

      • B.

        (ABCD)

      • C.

        (SAC)

      • D.

        (CDE)

      Đáp án : C

      Phương pháp giải :

      Mặt phẳng cần tìm chứa cả hai điểm O và E.

      Lời giải chi tiết :

      Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC\\E \in SA\end{array} \right.\) nên \(OE \subset (SAC)\).

      Câu 11 :

      Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 5\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {2023 - 4f(x)} \right]\) bằng

      • A.

        2013

      • B.

        2003

      • C.

        1993

      • D.

        2015

      Đáp án : B

      Phương pháp giải :

      Sử dụng tính chất của giới hạn.

      Lời giải chi tiết :

      \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {2023 - 4f(x)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2023 - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 2023 - 4.5 = 2003\).

      Câu 12 :

      Tập giá trị của hàm số \(y = \sin x\) là

      • A.

        [-1;1]

      • B.

        [0;2]

      • C.

        \(\mathbb{R}\)

      • D.

        [-2;2]

      Đáp án : A

      Phương pháp giải :

      Tập giá trị là tập hợp tất cả các giá trị mà y có thể nhận.

      Lời giải chi tiết :

      Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên tập giá trị của \(y = \sin x\) là [-1;1].

      Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
      Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
      Câu 1 :

      Cho phương trình \({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

      a) Phương trình đã cho được viết lại như sau: \({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

      Đúng
      Sai

      b) Ta có \(\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x\).

      Đúng
      Sai

      c) Phương trình đã cho đưa về dạng \(\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\).

      Đúng
      Sai

      d) Nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Đúng
      Sai
      Đáp án

      a) Phương trình đã cho được viết lại như sau: \({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

      Đúng
      Sai

      b) Ta có \(\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x\).

      Đúng
      Sai

      c) Phương trình đã cho đưa về dạng \(\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\).

      Đúng
      Sai

      d) Nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Đúng
      Sai
      Phương pháp giải :

      a) Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

      b) Sử dụng công thức \(\cos (x + \pi ) = - \cos x\).

      c) Sử dụng công thức hạ bậc \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2}\).

      d) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

      \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Lời giải chi tiết :

      a) Đúng. Ta có: \({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1\)

      \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 - {\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

      \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

      b) Đúng. \(\cos (2x + \pi ) = - \cos 2x\).

      c) Đúng. Ta có: \({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1\)

      \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

      \( \Leftrightarrow \frac{{\cos \left( {2x + \pi } \right) + 1}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}\)

      \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

      \( \Leftrightarrow - \cos 2x = - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

      \( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

      d) Sai. Ta có: \({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

      \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - 4x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - 4x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

      \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Câu 2 :

      Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\).

      a) Bốn số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là -1; 2; 5; 8.

      Đúng
      Sai

      b) Số hạng thứ 5 của dãy là 13.

      Đúng
      Sai

      c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = 2n - 3\).

      Đúng
      Sai

      d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

      Đúng
      Sai
      Đáp án

      a) Bốn số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là -1; 2; 5; 8.

      Đúng
      Sai

      b) Số hạng thứ 5 của dãy là 13.

      Đúng
      Sai

      c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = 2n - 3\).

      Đúng
      Sai

      d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.

      Đúng
      Sai
      Phương pháp giải :

      Sử dụng các công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

      Lời giải chi tiết :

      a) Đúng. Ta có:

      \({u_1} = - 1\);

      \({u_2} = {u_1} + 3 = - 1 + 3 = 2\);

      \({u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5\);

      \({u_4} = {u_2} + 3 = 5 + 3 = 8\).

      b) Sai. Ta có \({u_5} = {u_4} + 3 = 8 + 3 = 11\).

      c) Sai. Ta có \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = - 1\) và d = 3.

      Số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d \Leftrightarrow {u_n} = - 1 + (n - 1).3 = 3n - 4\).

      d) Đúng. Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được, ta có số hạng thứ 35 của dãy là:

      \({u_{35}} = 3.35 - 4 = 101\).

      Câu 3 :

      Biết \(\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = 2\) và \(\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = b\).

      a) Giá trị của a = 2.

      Đúng
      Sai

      b) Giá trị của b = 4.

      Đúng
      Sai

      c) a; 2; b lập thành một cấp số cộng.

      Đúng
      Sai

      d) a; b; 16 lập thành một cấp số nhân.

      Đúng
      Sai
      Đáp án

      a) Giá trị của a = 2.

      Đúng
      Sai

      b) Giá trị của b = 4.

      Đúng
      Sai

      c) a; 2; b lập thành một cấp số cộng.

      Đúng
      Sai

      d) a; b; 16 lập thành một cấp số nhân.

      Đúng
      Sai
      Phương pháp giải :

      Sử dụng các quy tắc tìm giới hạn của dãy số.

      Lời giải chi tiết :

      a) Sai. Ta có: \(\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{a{n^2} + n + 3}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{a} = 2\).

      Suy ra a = 1.

      b) Đúng. Ta có: \(\lim \frac{{{3^n} + {4^{n + 1}}}}{{{4^n} + 3}} = \lim \frac{{{3^n} + {4^n}.4}}{{{4^n} + 3}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} + 4}}{{1 + 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = \frac{{0 + 4}}{{1 + 0}} = 4 = b\).

      c) Sai. 1; 2; 4 không lập thành một cấp số cộng.

      d) Đúng. 1; 4; 16 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng 4.

      Câu 4 :

      Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD.

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 1 2

      a) Gọi \(I = CD \cap (MNP)\). Ba điểm I, N, P thẳng hàng.

      Đúng
      Sai

      b) MN//(ABD).

      Đúng
      Sai

      c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.

      Đúng
      Sai

      d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

      Đúng
      Sai
      Đáp án

      a) Gọi \(I = CD \cap (MNP)\). Ba điểm I, N, P thẳng hàng.

      Đúng
      Sai

      b) MN//(ABD).

      Đúng
      Sai

      c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng PQ song song với AB, với Q thuộc AD.

      Đúng
      Sai

      d) Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

      Đúng
      Sai
      Phương pháp giải :

      Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

      Lời giải chi tiết :

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 1 3

      a) Sai. Xét trong mặt phẳng (BCD):

      Vì NP không song song với CD nên giả sử NP giao CD tại O.

      Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in CD\\O \in NP \subset (MNP)\end{array} \right.\) nên \(O = CD \cap (MNP)\).

      Vậy \(O \equiv I\). Vì \(O \in NP\) suy ra I, N, P thẳng hàng.

      b) Đúng. Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB.

      c) Đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\(MNP) \cap (ABD) = \{ P\} \end{array} \right.\) suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABD) là đường thẳng qua P và song song với AB, MN.

      Theo giả thiết, PQ//AB nên PQ chính là giao tuyến cần tìm.

      d) Sai. Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}AB\) (1).

      Theo giả thiết, BP = 2PD nên suy ra \(\frac{{DP}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

      Xét tam giác ABD có PQ//AB:

      \(\frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{DP}}{{DB}} = \frac{{PQ}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) (hệ quả định lý Thales).

      Suy ra \(PQ = \frac{1}{3}AB\) (2).

      Từ (1) và (2) suy ra \(MN \ne PQ\).

      Vậy MNPQ không phải hình bình hành.

      Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
      Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
      Câu 1 :

      Hằng ngày mức nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mức nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày (t > 0) bởi công thức \(h = 4\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) + 16\). Mực nước của kênh cao nhất khi t bằng bao nhiêu?

      Đáp án:

      Đáp án

      Đáp án:

      Phương pháp giải :

      \(h = 4\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) + 16\) lớn nhất khi \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) = 1\).

      Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

      \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Lời giải chi tiết :

      \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{{5\pi }}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} = - \frac{\pi }{8} + k2\pi \)

      \( \Leftrightarrow \frac{t}{8} = - \frac{1}{8} + 2k \Leftrightarrow t = - 1 + 16k\) \((k \in \mathbb{Z})\).

      Ta có \(0 < t \le 24 \Leftrightarrow 0 < - 1 + 16k \le 24 \Leftrightarrow 1 < 16k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{{16}} < k \le \frac{3}{2}\).

      Vậy k = 1. Khi đó t = -1 + 16.1 = 15.

      Vậy mực nước của kênh cao nhất khi t = 15 (giờ).

      Câu 2 :

      Một rạp hát có 18 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 16 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 24 ghế,... cứ thế cho đến hàng cuối cùng. Hỏi tổng số ghế có trong rạp là bao nhiêu?

      Đáp án:

      Đáp án

      Đáp án:

      Phương pháp giải :

      Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\).

      Lời giải chi tiết :

      Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 16\) và d = 4.

      Tổng số ghế trong rạp là \({S_{18}} = \frac{{18\left[ {2.16 + (18 - 1).4} \right]}}{2} = 900\).

      Câu 3 :

      Tính giới hạn \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right]\). Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

      Đáp án:

      Đáp án

      Đáp án:

      Phương pháp giải :

      Sử dụng quy tắc tính giới hạn tại vô cực.

      Lời giải chi tiết :

      \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right]\)

      \( = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{2n - 1}} + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)\)

      \( = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - 0} \right) = \frac{1}{2} = 0,5\).

      Câu 4 :

      Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\\ax\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}\) \(\begin{array}{l}x \ne 1\\x = 1\end{array}\). Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

      Đáp án:

      Đáp án

      Đáp án:

      Phương pháp giải :

      Hàm số liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

      Lời giải chi tiết :

      Ta có: \(\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2 + 2 - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2}}{{x - 1}} + \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\)

      \( = \frac{{x + 7 - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4} \right)}} + \frac{{4 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\)

      \( = \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} + \frac{{3 - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\)

      \( = \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3x + 1} }}\).

      Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}\)

      \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + \sqrt[2]{{x + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3x + 1} }}\)

      \( = \frac{1}{{\sqrt {1 + 7} + \sqrt[2]{{1 + 7}}.2 + 4}} - \frac{3}{{2 + \sqrt {3.1 + 1} }} \approx - 0,7\).

      Mà \(f(1) = a.1 = a\).

      Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\), suy ra \(a \approx - 0,7\).

      Câu 5 :

      Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD). Tính tỉ số \(\frac{{IA}}{{IM}}\)?

      Đáp án:

      Đáp án

      Đáp án:

      Phương pháp giải :

      Sử dụng các khái niệm, tính chất của điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

      Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác.

      Lời giải chi tiết :

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 1 4

      Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD (vì ABCD là hình bình hành).

      Dễ dàng chứng minh \(SO \subset (SBD)\), \(SO \subset (SAC)\) và \(AM \subset (SAC)\).

      Xét trong mặt phẳng (SAC), giả sử AM giao SO tại I’.

      Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I' \in AM\\I' \in SO \subset (SBD)\end{array} \right.\) suy ra I’ là giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).

      Suy ra I’ trùng I.

      Xét tam giác SAC có AM, SO là các đường trung tuyến cắt nhau tại I.

      Suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC. Vậy \(\frac{{IA}}{{IM}} = 2\).

      Câu 6 :

      Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD, AC = 6, BD = 8; tam giác SBD là tam giác đều. Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AI = x (0 < x < 3), (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (SBD). Diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD bằng \(\frac{{a{x^2}\sqrt 3 }}{b}\)​​. Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

      Đáp án:

      Đáp án

      Đáp án:

      Phương pháp giải :

      Sử dụng tính chất giao tuyến, hệ quả định lí Thales, công thức tính diện tích tam giác đều khi biết độ dài cạnh.

      Lời giải chi tiết :

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 1 5

      Vì (P)//(SBD) suy ra BD//(P) và SB//(P).

      Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in (P) \cap (ABCD)\\BD \subset (ABCD)\\BD//(P)\end{array} \right.\) suy ra giao tuyến của (P) và (ABCD) là đường thẳng qua I song song với BD. Giao tuyến này cắt AB tại M, cắt AD tại N.

      Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P) \cap (SAB)\\SB \subset (SAB)\\SB//(P)\end{array} \right.\) suy ra giao tuyến của (P) và (SAB) là đường thẳng qua M song song với SB.

      Giao tuyến này cắt SA tại K.

      Thiết diện cần tìm là tam giác MNK.

      Hai tam giác KMN và SBD có các cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng. Mà tam giác SBD đều nên tam giác KMN đều.

      Xét tam giác AOD có IN//DO: \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN}}{{DO}}\) (hệ quả định lí Thales).

      Xét tam giác AOB có IM//BO: \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IM}}{{BO}}\) (hệ quả định lí Thales).

      Suy ra \(\frac{{IN}}{{DO}} = \frac{{IM}}{{BO}}\). Do đó \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{IN + IM}}{{DO + BO}}\) hay \(\frac{{AI}}{{AO}} = \frac{{MN}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{x}{{\frac{{AC}}{2}}} = \frac{{MN}}{{BD}}\)

      \( \Leftrightarrow \frac{x}{3} = \frac{{MN}}{8} \Leftrightarrow MN = \frac{{8x}}{3}\).

      Diện tích tam giác đều KMN là \(S = \frac{{M{N^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {\frac{{8x}}{3}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{16{x^2}\sqrt 3 }}{9}\).

      Suy ra a = 16, b = 9.

      Vậy P = a + b = 16 + 9 = 25.

      Bạn đang khám phá nội dung Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng toán math. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.
      Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
      Facebook: MÔN TOÁN
      Email: montoanmath@gmail.com

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng. Đề thi này không chỉ giúp học sinh kiểm tra kiến thức đã học mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và áp dụng kiến thức vào thực tế.

      Cấu trúc đề thi

      Đề thi thường bao gồm các phần sau:

      • Phần trắc nghiệm: Kiểm tra kiến thức cơ bản và khả năng nhận biết các khái niệm toán học.
      • Phần tự luận: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết cho các bài toán, thể hiện khả năng phân tích và suy luận logic.

      Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:

      • Hàm số lượng giác
      • Phương trình lượng giác
      • Đạo hàm
      • Ứng dụng đạo hàm
      • Giới hạn
      • Hình học không gian

      Hướng dẫn giải một số bài toán tiêu biểu

      Bài 1: Giải phương trình lượng giác

      Để giải phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và các phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp. Ví dụ, để giải phương trình sin(x) = a, ta cần tìm các giá trị của x sao cho sin(x) bằng a. Sử dụng đường tròn lượng giác hoặc các công thức lượng giác để tìm ra các nghiệm của phương trình.

      Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số

      Để tính đạo hàm của hàm số, học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và các đạo hàm cơ bản. Ví dụ, đạo hàm của x^n là nx^(n-1). Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn.

      Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

      Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, học sinh cần tìm các điểm cực trị của hàm số và so sánh giá trị của hàm số tại các điểm này và tại các điểm biên của khoảng xét hàm số.

      Lưu ý khi làm bài thi

      1. Đọc kỹ đề bài trước khi làm.
      2. Viết rõ ràng, mạch lạc và trình bày lời giải chi tiết.
      3. Kiểm tra lại kết quả sau khi làm xong.
      4. Sử dụng máy tính bỏ túi khi cần thiết.

      Tầm quan trọng của việc luyện tập

      Luyện tập thường xuyên là yếu tố quan trọng để đạt kết quả tốt trong kỳ thi học kì. Học sinh nên giải nhiều đề thi khác nhau để làm quen với các dạng bài tập và rèn luyện kỹ năng giải toán. Ngoài ra, học sinh cũng nên tham khảo các tài liệu tham khảo và tìm kiếm sự giúp đỡ của giáo viên khi gặp khó khăn.

      montoan.com.vn – Nền tảng học toán online uy tín

      montoan.com.vn cung cấp một kho đề thi phong phú và đa dạng, bao gồm các đề thi học kì, đề thi thử và các bài tập luyện tập. Ngoài ra, montoan.com.vn còn cung cấp các bài giảng video, các bài viết hướng dẫn và các công cụ hỗ trợ học tập khác, giúp học sinh học toán hiệu quả hơn.

      Kết luận

      Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6 là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi. Hy vọng rằng với những phân tích chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài thi và đạt kết quả tốt nhất.

      Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11

      Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11