Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Trong hình học, tam giác vuông đóng vai trò quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán thực tế. Việc nắm vững các hệ thức lượng trong tam giác vuông không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao.

I. Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có các cạnh sau:

• Cạnh huyền: BC
• Cạnh góc vuông: AB, AC

Các hệ thức lượng cơ bản bao gồm:

1. Định lý Pytago: AB² + AC² = BC²
2. Hệ thức giữa cạnh và đường cao: AH² = BH.CH (với AH là đường cao hạ từ A xuống BC)
3. Hệ thức giữa các cạnh: AB² = BH.BC, AC² = CH.BC

II. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong tam giác vuông ABC, ta định nghĩa:

• Sin B = đối / huyền = AC / BC
• Cos B = kề / huyền = AB / BC
• Tan B = đối / kề = AC / AB
• Cot B = kề / đối = AB / AC

Các tỉ số lượng giác này có mối quan hệ mật thiết với nhau:

• Tan B = Sin B / Cos B
• Cot B = Cos B / Sin B

III. Mối quan hệ giữa tỉ số lượng giác và cạnh, góc

Từ các tỉ số lượng giác, ta có thể suy ra mối quan hệ giữa cạnh và góc:

• AC = BC.Sin B
• AB = BC.Cos B
• AC = AB.Tan B

IV. Ứng dụng của các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Các hệ thức lượng và tỉ số lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính chiều cao của một tòa nhà hoặc cây cối.
• Xác định khoảng cách giữa hai điểm.
• Giải các bài toán về góc nhìn và bóng đổ.

V. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính BC và các tỉ số lượng giác của góc B.

Giải:

Áp dụng định lý Pytago, ta có: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

• Sin B = AC / BC = 4 / 5
• Cos B = AB / BC = 3 / 5
• Tan B = AC / AB = 4 / 3
• Cot B = AB / AC = 3 / 4

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60^o, BC = 10cm. Tính AB, AC.

Giải:

Ta có:

• AB = BC.Cos B = 10.Cos 60^o = 10.0.5 = 5cm
• AC = BC.Sin B = 10.Sin 60^o = 10.(√3 / 2) = 5√3 cm

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể tìm thấy trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán trực tuyến.

Hy vọng bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ hơn về các hệ thức lượng trong tam giác vuông và ứng dụng của chúng. Chúc các em học tốt!