Lý thuyết Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong một tam giác vuông và ứng dụng Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong một tam giác vuông và ứng dụng Toán 9 Kết nối tri thức

Tam giác vuông là một trong những hình cơ bản và quan trọng trong hình học. Việc nắm vững các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao kiến thức toán học.

I. Các khái niệm cơ bản về tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 độ. Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền, hai cạnh còn lại được gọi là cạnh góc vuông. Các góc nhọn trong tam giác vuông có tổng bằng 90 độ.

II. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trong một tam giác vuông, ta định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn như sau:

• Sin (sin): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền. sin α = Cạnh đối / Cạnh huyền
• Cos (cos): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền. cos α = Cạnh kề / Cạnh huyền
• Tan (tan): Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề. tan α = Cạnh đối / Cạnh kề
• Cot (cot): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối. cot α = Cạnh kề / Cạnh đối

Trong đó:

• α là góc nhọn trong tam giác vuông.
• Cạnh đối là cạnh nằm đối diện với góc α.
• Cạnh kề là cạnh nằm kề với góc α (không phải cạnh huyền).
• Cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác vuông.

III. Các hệ thức lượng giác cơ bản

Các hệ thức lượng giác cơ bản giúp chúng ta liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của cùng một góc:

• tan α = sin α / cos α
• cot α = cos α / sin α
• 1 + tan² α = 1 / cos² α
• 1 + cot² α = 1 / sin² α

IV. Mối quan hệ giữa các góc nhọn trong tam giác vuông

Nếu α và β là hai góc nhọn trong một tam giác vuông, thì:

• α + β = 90^o
• sin α = cos β
• cos α = sin β
• tan α = cot β
• cot α = tan β

V. Ứng dụng của hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

Các hệ thức lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

1. Giải tam giác vuông: Biết trước một số cạnh và góc, ta có thể tính các cạnh và góc còn lại.
2. Tính chiều cao, khoảng cách: Sử dụng các hệ thức lượng giác để tính chiều cao của các vật thể, khoảng cách giữa hai điểm.
3. Ứng dụng trong hàng hải, kiến trúc, đo đạc: Các hệ thức lượng giác được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực này để giải quyết các bài toán thực tế.

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính sin B, cos B, tan B, cot B.

Giải:

BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

• sin B = AC / BC = 4 / 5 = 0.8
• cos B = AB / BC = 3 / 5 = 0.6
• tan B = AC / AB = 4 / 3 ≈ 1.33
• cot B = AB / AC = 3 / 4 = 0.75

Ví dụ 2: Cho tam giác MNP vuông tại M, biết sin P = 0.6. Tính cos P, tan P, cot P.

Giải:

cos P = √(1 - sin² P) = √(1 - 0.6²) = √(1 - 0.36) = √0.64 = 0.8

• tan P = sin P / cos P = 0.6 / 0.8 = 0.75
• cot P = 1 / tan P = 1 / 0.75 ≈ 1.33

VII. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hệ thức lượng giác trong tam giác vuông, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.

Việc hiểu rõ và áp dụng thành thạo các hệ thức lượng giác sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc bạn học tốt!