THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Bài giải này được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và O là một điểm trên d (H.9.12). Hỏi đường tròn tâm O đi qua điểm A thì có đi qua điểm B không?
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có \(AC = 3cm,AB = 4cm\) và \(BC = 5cm\). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí Pythagore đảo chứng minh tam giác ABC vuông tại A, suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(\frac{{BC}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\left( {do\;{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)\) nên tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo)
Do đó, bán kính đường tròn tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{5}{2}\left( {cm} \right)\).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và O là một điểm trên d (H.9.12). Hỏi đường tròn tâm O đi qua điểm A thì có đi qua điểm B không?
Phương pháp giải:
Chứng minh \(OA = OB\), suy ra đường tròn tâm O đi qua điểm A thì đi qua điểm B.
Lời giải chi tiết:
Do O thuộc đường trung trực của AB nên \(OA = OB\).
Suy ra, đường tròn tâm O đi qua điểm A thì đi qua điểm B.
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 72SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O (H.9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
+ Dùng tính chất ba đường trung trực trong tam giác suy ra \(OA = OB = OC\).
+ Suy ra, đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O nên \(OA = OB = OC\).
Do đó, 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính OA.
Vậy đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính bằng 4cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
+ Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
+ Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC. Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3}\), từ đó tính được BC.
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC.
Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3} \) suy ra \(BC = \sqrt 3 OA = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).
Vậy cạnh của tam giác đều bằng \(4\sqrt 3 cm\).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A (H.9.15). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Vẽ hai đường trung trực a, b của các cạnh AB, AC, cắt nhau tại M.
b) Hãy giải thích vì sao MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
c) Hãy giải thích vì sao M là trung điểm của BC, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Phương pháp giải:
a) Vẽ đường thẳng a vuông góc với AB tại N thì a là đường trung trực của cạnh AB.
Vẽ đường thẳng b vuông góc với AC tại P thì b là đường trung trực của cạnh AC.
b) + Chứng minh a//AC, b//AB.
+ Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba chứng minh được MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
c) Chứng minh tứ giác ANMP là hình chữ nhật, suy ra \(\widehat {NMP} = {90^o}\).
Chứng minh được \(\widehat {BMN} = {180^o}\) nên 3 điểm M, B, C thẳng hàng. Mà \(MB = MC = AM\), M là trung điểm của BC. Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Vẽ đường thẳng a vuông góc với AB tại N thì a là đường trung trực của cạnh AB.
Vẽ đường thẳng b vuông góc với AC tại P thì b là đường trung trực của cạnh AC.
b) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC\), vì a là trung trực của AB nên \(a \bot AB\), suy ra: a//AC.
Vì b là đường trung trực của AC nên \(b \bot AC\), mà \(AB \bot AC\)(cmt) nên b//AB.
Xét tam giác ABC có:
+ Vì a//AC, mà N là trung điểm của AB nên đường thẳng a đi qua trung điểm của BC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.
+ Vì b//AB, mà P là trung điểm của AC nên đường thẳng b đi qua trung điểm của BC. Do đó, MP là đường trung bình của tam giác ABC.
c) Vì đường thẳng a và b cùng đi qua trung điểm của BC nên đường thẳng a và b cắt nhau tại trung điểm của BC.
Mà M là giao điểm của a và b (gt)
Do đó M là trung điểm của BC.
Suy ra \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\)
Vì \(M \in a\) nên MA = MB (tính chất đường trung trực)
Suy ra \(MA = MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Vậy M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn (O) trong Hình 9.14.
Phương pháp giải:
Chỉ ra 4 điểm B, C, M, N thuộc đường tròn (O) nên các tam giác MNC, MNB, BCM, BCN nội tiếp đường tròn (O).
Lời giải chi tiết:
Vì 4 điểm B, C, M, N thuộc đường tròn (O) nên các tam giác MNC, MNB, BCM, BCN nội tiếp đường tròn (O).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 73SGK Toán 9 Kết nối tri thức
a) Vẽ tam giác đều ABC. Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vẽ đường tròn đó.
b) Giải thích vì sao tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).
c) Giải thích vì sao \(\widehat {OBM} = {30^o}\) và \(OB = \frac{{\sqrt 3 }}{3}BC\) (với M là trung điểm của BC).
Phương pháp giải:
a) Kẻ ba đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) + Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung trực đồng thời là trọng tâm của tam giác đó.
+ Suy ra, tâm O đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm của tam giác đó.
c) Gọi E là giao điểm của BO và AC.
+ Chứng minh BE là đường phân giác và trung tuyến của tam giác đều ABC.
Do đó, \(OB = \frac{2}{3}BE\), \(\widehat {OBM} = {30^o}\)
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BEC để tính BE, từ đó tính OB.
Lời giải chi tiết:
a) Kẻ ba đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Vì tam giác ABC đều nên O vừa là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác, vừa là trọng tâm của tam giác. Do đó, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó.
c) Tam giác ABC đều nên \(BC = AC,\widehat {ABC} = {60^o}\)
Vì tam giác ABC đều nên BO là đường trung trực, đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác.
Do đó \(\widehat {OBM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}{.60^o} = {30^o}\).
Vì tam giác OBM vuông tại M nên áp dụng tỉ số lượng giác ta có:
\(cosOBM = \frac{BM}{OM}\)
suy ra \(OB = \frac{BM}{cosOBM} = \frac{BC}{2.\frac{\sqrt 3}{2}} = \frac{BC}{\sqrt 3} = \frac{\sqrt 3}{3}BC\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và O là một điểm trên d (H.9.12). Hỏi đường tròn tâm O đi qua điểm A thì có đi qua điểm B không?
Phương pháp giải:
Chứng minh \(OA = OB\), suy ra đường tròn tâm O đi qua điểm A thì đi qua điểm B.
Lời giải chi tiết:
Do O thuộc đường trung trực của AB nên \(OA = OB\).
Suy ra, đường tròn tâm O đi qua điểm A thì đi qua điểm B.
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 72SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O (H.9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
+ Dùng tính chất ba đường trung trực trong tam giác suy ra \(OA = OB = OC\).
+ Suy ra, đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O nên \(OA = OB = OC\).
Do đó, 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính OA.
Vậy đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn (O) trong Hình 9.14.
Phương pháp giải:
Chỉ ra 4 điểm B, C, M, N thuộc đường tròn (O) nên các tam giác MNC, MNB, BCM, BCN nội tiếp đường tròn (O).
Lời giải chi tiết:
Vì 4 điểm B, C, M, N thuộc đường tròn (O) nên các tam giác MNC, MNB, BCM, BCN nội tiếp đường tròn (O).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A (H.9.15). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Vẽ hai đường trung trực a, b của các cạnh AB, AC, cắt nhau tại M.
b) Hãy giải thích vì sao MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
c) Hãy giải thích vì sao M là trung điểm của BC, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Phương pháp giải:
a) Vẽ đường thẳng a vuông góc với AB tại N thì a là đường trung trực của cạnh AB.
Vẽ đường thẳng b vuông góc với AC tại P thì b là đường trung trực của cạnh AC.
b) + Chứng minh a//AC, b//AB.
+ Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba chứng minh được MN, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
c) Chứng minh tứ giác ANMP là hình chữ nhật, suy ra \(\widehat {NMP} = {90^o}\).
Chứng minh được \(\widehat {BMN} = {180^o}\) nên 3 điểm M, B, C thẳng hàng. Mà \(MB = MC = AM\), M là trung điểm của BC. Từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Vẽ đường thẳng a vuông góc với AB tại N thì a là đường trung trực của cạnh AB.
Vẽ đường thẳng b vuông góc với AC tại P thì b là đường trung trực của cạnh AC.
b) Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC\), vì a là trung trực của AB nên \(a \bot AB\), suy ra: a//AC.
Vì b là đường trung trực của AC nên \(b \bot AC\), mà \(AB \bot AC\)(cmt) nên b//AB.
Xét tam giác ABC có:
+ Vì a//AC, mà N là trung điểm của AB nên đường thẳng a đi qua trung điểm của BC. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.
+ Vì b//AB, mà P là trung điểm của AC nên đường thẳng b đi qua trung điểm của BC. Do đó, MP là đường trung bình của tam giác ABC.
c) Vì đường thẳng a và b cùng đi qua trung điểm của BC nên đường thẳng a và b cắt nhau tại trung điểm của BC.
Mà M là giao điểm của a và b (gt)
Do đó M là trung điểm của BC.
Suy ra \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\)
Vì \(M \in a\) nên MA = MB (tính chất đường trung trực)
Suy ra \(MA = MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Vậy M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và bán kính \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có \(AC = 3cm,AB = 4cm\) và \(BC = 5cm\). Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí Pythagore đảo chứng minh tam giác ABC vuông tại A, suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(\frac{{BC}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\left( {do\;{3^2} + {4^2} = {5^2}} \right)\) nên tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo)
Do đó, bán kính đường tròn tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{5}{2}\left( {cm} \right)\).
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 73SGK Toán 9 Kết nối tri thức
a) Vẽ tam giác đều ABC. Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vẽ đường tròn đó.
b) Giải thích vì sao tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).
c) Giải thích vì sao \(\widehat {OBM} = {30^o}\) và \(OB = \frac{{\sqrt 3 }}{3}BC\) (với M là trung điểm của BC).
Phương pháp giải:
a) Kẻ ba đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) + Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung trực đồng thời là trọng tâm của tam giác đó.
+ Suy ra, tâm O đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm của tam giác đó.
c) Gọi E là giao điểm của BO và AC.
+ Chứng minh BE là đường phân giác và trung tuyến của tam giác đều ABC.
Do đó, \(OB = \frac{2}{3}BE\), \(\widehat {OBM} = {30^o}\)
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BEC để tính BE, từ đó tính OB.
Lời giải chi tiết:
a) Kẻ ba đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực đó thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) Vì tam giác ABC đều nên O vừa là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác, vừa là trọng tâm của tam giác. Do đó, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó.
c) Tam giác ABC đều nên \(BC = AC,\widehat {ABC} = {60^o}\)
Vì tam giác ABC đều nên BO là đường trung trực, đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác.
Do đó \(\widehat {OBM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}{.60^o} = {30^o}\).
Vì tam giác OBM vuông tại M nên áp dụng tỉ số lượng giác ta có:
\(cosOBM = \frac{BM}{OM}\)
suy ra \(OB = \frac{BM}{cosOBM} = \frac{BC}{2.\frac{\sqrt 3}{2}} = \frac{BC}{\sqrt 3} = \frac{\sqrt 3}{3}BC\)
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 9 Kết nối tri thức
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính bằng 4cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Phương pháp giải:
+ Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
+ Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC. Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3}\), từ đó tính được BC.
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao trong tam giác đều ABC.
Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3} \) suy ra \(BC = \sqrt 3 OA = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).
Vậy cạnh của tam giác đều bằng \(4\sqrt 3 cm\).
Mục 1 của chương trình Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hàm số bậc hai. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình học. Việc nắm vững các khái niệm, tính chất và phương pháp giải các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Bài 1 yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa hàm số bậc hai, các dạng biểu diễn của hàm số bậc hai (dạng tổng quát, dạng chuẩn) và các yếu tố quan trọng của hàm số (hệ số a, b, c, đỉnh, trục đối xứng). Giải thích rõ ràng các khái niệm này là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Bài 2 tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng xác định hệ số a, b, c của hàm số bậc hai khi cho trước biểu thức của hàm số. Đây là một kỹ năng cơ bản nhưng quan trọng, vì hệ số a, b, c ảnh hưởng trực tiếp đến hình dạng và vị trí của parabol.
Ví dụ: Cho hàm số y = 2x2 - 5x + 1. Hệ số a = 2, b = -5, c = 1.
Bài 3 yêu cầu học sinh tìm tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của parabol. Đây là những yếu tố quan trọng để vẽ đồ thị hàm số bậc hai và giải các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Công thức tính tọa độ đỉnh: x0 = -b / 2a, y0 = -Δ / 4a (với Δ = b2 - 4ac)
Phương trình trục đối xứng: x = x0
Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Việc giải mục 1 trang 72, 73, 74 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán 9. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc chinh phục môn học này.
